Числа. Вектора. Матрицы. Ознакомление. Сергей Постников

Числа, математика и мир Числа появились для количественного описания объектов и явлений. Описания их свойств и взаимодействий. Это позволяет предсказывать их поведение в будущем или конструировать желаемое для себя. В зависимости от типа объекта и желаемой модели используются разные системы чисел.

Числа и операции над ними Бинарная операция: задает правило A ¤ B C. Пример – сложение: C = A + B. Натуральные: 1, 2, 3, 4,..., N, N+1,... –счет или нумерация вещей и объектов. –сложение (+) : A = A + ? или 1 = 3 + ?. Целые:..., -Z-1, -Z,..., -2, -1, 0, 1, 2, 3,... –операция обратная сложению это вычитание. –умножение (·): 4 · ? = 1 или 4 · ? = -3. Рациональные (доли ½, -¾, ¼, …): Q = Z / N –обратная умножению это деление (кроме на нуль). –возведение в натуральную степень (A N ). –? 2 =2. Вещественные (действительные): R = π, –обратная целой степени N это извлечение корня N. –возведение в вещественную степень R (A R ). Еще пример известного иррационального числа?

Комплексные числа и далее ? 2 = -1 Комплексные: C = A + B i –мнимая единица i : i 2 = -1 –пара действительных чисел – реальная и мнимая. –примеры: заряженные частицы в квантовой механике и их волновые свойства, решения сложных математических задач (интегралы). Кватерионы (спиноры): S = A + B i + C j + D k. –три мнимых единицы i, j, k: i 2 = j 2 = k 2 = -1, i·j=k, j·k=i, k·i=j. –не коммутативны:, i·j = - j·i. –примеры: частицы со половинным (1/2) спином (электрон, позитрон, нейтрино) в квантовой механике – что поэтому также называют спинором. Числа Грассмана: A·B = - B·A. ??? : например с делением на нуль!? –неизведанные объекты и явления! Недостаток существующих чисел описывать новые физические, математические и геометрические объекты и явления восполнялся пополнением новой системой чисел!

Вектора Знакомы из геометрии: стрелка – величина и направление: –примеры: скорость, смещение, электрическое или магнитное поле, ? Общее определение – упорядоченный набор N чисел – N-вектор, также набор должен изменятся согласно определенным правилами при повороте системы координат (вести себя как вектор): –действительных: (R 1, R 2,..., R N ). –комплексных: (Z 1, Z 2,..., Z N ). –пример: точка на экране и ее цвет (x, y), (с). –пример: температура и скорость воздуха в комнате (x, y, z), (v x, v y, v z ), (T). или торнадо (r, φ, z), (v r, v φ, v z ), (T), (P)[давление] ). –пример: магнитное поле от магнита сложной формы (x, y, z), (B x, B y, B z ).

Матрицы Общее определение – упорядоченная таблица N колонок и M рядов чисел (элементов матрицы) : –индексы элемента, ряд и место – его положение. –как сидения в кинотеатре или самолете. –действительные или комплексные элементы. –квадратная матрица – равное число мест и рядов. –число это матрица 1 x 1, вектор это 1 x N или N x 1. Матицы и вектора важны в физике, экономике, инженерии, биологии, информатике, и т. д. и их проходят почти на всех первых курсах ВУЗов как часть линейной алгебры.

Сложение матриц Матрицы складываются и отнимаются поэлементно. Должно быть одинаковое число рядов и колонок.

Умножение матриц При умножении матриц соответствующий элемент ряда первой матрицы умножается на соответствующий элемент столбца второй матрицы и их произведения складываются. Номер ряда первой матрицы выбирается соответственно первому индексу искомого элемента. Номер столбца второй матрицы выбирается соответственно второму индексу искомого элемента. Поэтому можно умножать только прямоугольные матрицы с числом столбцов первой матрицы (левой) равному числу рядов второй (правой). Но чаще всего обходятся квадратными матрицами.

Заключение Мы ознакомились с разными системами чисел и операциями над ними. Общее определения вектора. Определение матрицы. Операции над матрицами. На семинаре вы потренируетесь с векторами и матрицами и некоторыми примерами их применения.