ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ Исполнитель: ученица 8 класса «А» Фрейдина А. Учитель : Чучалина Н. М. Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 2» АЛАПАЕВСК 2009

Цель: Расширить и углубить знания по данной теме

Задачи : Работать с дополнительной литературой; Оформить результаты своей работы; Совершенствовать навыки работы с ПК; Совершенствовать свои умения и навыки по нахождению площадей треугольников и четырёухгольников.

Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития Нила, постоянно смывающего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука возникла из потребностей человека. Еще в далёком прошлом людей волновал вопрос, как же можно окружить больше земли? Это, например, задача Дидоны, окружить больше Земли бычьей шкурой, или задача Пахома, который мечтал о собственной Земле. Первостепенная важность понятия площади в геометрии определяется тем, что геометрия возникла как наука, обеспечивающая правильность определения площадей земельных участков. Понятие площади, возникшее из насущных потребностей в жизнедеятельности человека, стало фундаментальным понятием современной математики во всех вариантах её проявления. Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития Нила, постоянно смывающего границы. Нет ничего удивительного в том,что эта наука возникла из потребностей человека. Еще в далёком прошлом людей волновал вопрос, как же можно окружить больше земли? Это, например, задача Дидоны, окружить больше Земли бычьей шкурой,или задача Пахома, который мечтал о собственной Земле. Первостепенная важность понятия площади в геометрии определяется тем, что геометрия возникла как наука, обеспечивающая правильность определения площадей земельных участков. Понятие площади, возникшее из насущных потребностей в жизнедеятельности человека, стало фундаментальным понятием современной математики во всех вариантах её проявления.

Понятие площади Понятие площади всем известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна пятнадцати квадратным метрам, площадь садового участка- семи соткам и т.д. В своем реферате я рассмотрю вопрос о площадях многоугольников. Можно сказать, что площадь многоугольника- это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см². Аналогично определяется квадратный метр (м²), квадратный дециметр (дм²). Площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.

СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ. 1°.Равные многоугольники имеют равные площади. 2°.Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Задача 1. Найти площадь трапеции, если её основания равны 60 и 20, а боковые стороны равны 13 и 37. В С Дано: АВСD трапеция ВС = 20, АD = 60, АВ = 37, СD = 13. Найти: А Е М D Решение. 1)Проведем СЕАВ => АВСЕ- парольлелограмм, где BС = АЕ = 20, AB = CE = 37. 2) Проведём СМ АD => СМ – высота. 3) АD = AE + EM + MD EM + MD = ED => ED = AD – AE = 60 – 20 = 40 AD = 60, AE = 20. 4)Пусть ЕМ = х, тогда МD = 40-х. 5) Рассмотрим СЕМ и СМD М = 90º, значит СЕМ - прямоугольный. СМ² = СЕ ²- ЕМ² СМ² = СD² - МD² СЕ² - ЕМ² = СD² - МD² 37² - х² = 13² - (40 – х)²

1369 – = 169 – ( 1600 – 80 х + х²) В С х² = 169 – х – х² - х² + х² - 80 х = – х = | (- 1) 80 х = х = 280 А Е М D 2 х = 70 х = 35 Итак, ЕМ = 35. 6) ЕСМ прямоугольный. 7) = 12 = 480. ОТВЕТ :

Задача 2. В трапеции основания равны 2 и 3 см, а диагонали равны 3 и 4 см. Найдите площадь трапеции. В С Дано: АВСD - трапеция, АD = 3 см, ВС = 2 см, АС = 4 см, ВD = 3 см. Найти: А D М Решение. 1) Проведем СМ ВD => DВСМ - парольлелограмм 2) Рассмотрим АСМ: АС = 4 по условию. СМ = ВD = 3 см. => АСМ = 90º (т.к. АСМ- египетский и АМ = АD + DМ = Пифагоров) ВС (т.к. DВСМ - парольлелограмм) 3) АОD = АСМ = 90º ( т.к. эти углы соответствия. при пароль. прямых ВD и СМ и сек. АС) ВD АС Значит = АС ВD = 4 3 = 6 см². ОТВЕТ: 6 см². о

Задача 3. Найти площадь трапеции по двум диагоналям, равным 113 и 17 и высоте, равной 15. В С Дано: АВСD - трапеция, АС = 17, ВD = 13, ВР = 15, Найти: А Р Е D Решение. 1) Рассмотрим АСЕ Е = 90º => АСЕ – прямоугольный, где АС² = АЕ² + СЕ² 2) Рассмотрим ВРD: Р = 90º=> ВРD - прямоугольный, где ВD² = ВР² + РD² 3) АЕ + ВD = ВС + РЕ + АР + ЕD = АD + ВС = = 120 АЕ = АР + РЕ, ВD = ВС + ЕD. 4) = СЕ = 120 : 2 15 = 900. ОТВЕТ: = 900.

Задача 7. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания АС равнобедренного треугольника АВС до боковых сторон есть число постоянное для данного треугольника. Дано: АВС, АВ = ВС Доказательство. Е А К F M B С

Задачи на минимум и максимум. 4. Какой из всех прямоугольников с периметром, равным 36 см, имеет наибольшую площадь? Решение. Если Р = 36 см, то полупериметр равен 36 : 2 = 18 см. На основании этого составляю таблицу. 2) Пусть длина прямоугольника равна х см, тогда ширина (18 – х), значит площадь прямоугольника равна х (18 – х) = - х² + 18 х. 3) Рассмотрим квадратичную функцию у = - х² + 18 х. Тогда длина прямоугольника равна 9 см, а значит ширина равна тоже 9 см, т.к. 9 4 = 36. Длина прямоугольника Ширина прямоугольника Площадь прямоугольника

Получается, что прямоугольник, имеющий самую большую площадь при заданном периметре – квадрат. ОТВЕТ: из всех прямоугольников с периметром, равным 36 см, квадрат имеет наибольшую площадь.

5. Доказать, что из всех прямоугольников одного и того же периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Решение. Пусть сумма двух сторон прямоугольника равна 2 х, а разность их равна 2 а. Тогда стороны прямоугольника будут равны (а + х) и (а – х), а площадь будет равна (а + х)(а – х) = а² - х². Эта разность достигает наибольшей величины тогда, когда вычитаемое х обратится в нуль. Если х = 0, то стороны прямоугольника станут равными. Итак, из всех прямоугольников данного периметра наибольшей площадью обладает квадрат.

Задача 6. Имеется 300 метров проволоки, которой нужно огородить участок прямоугольной формы и максимальной площади, примыкающей к заводской стене. Найти стороны этого участка. х х у Решение. Пусть ширина искомого прямоугольника будет равна х, а длина у. Тогда площадь участка S = ух, а 2S = 2 ух, но 2 х + у = 300, т.е. сумма сомножителей есть величина постоянная. Удвоенная площадь искомого участка достигает наибольшей величины при равенстве сомножителей. Значит, 2 х = у, х = 100 м у = 200 м Если удвоенная площадь участка достигает максимального значения при х = 100, у = 200, то площадь участка достигает максимального значения при тех же х и у. ОТВЕТ: стороны этого участка будут равны 100 м и 200 м

Задача об удвоении квадрата. Построить квадрат, который превосходил бы данный по площади в 2 раза. В С Дано: АВСD- квадрат Построить: квадрат, площадь которого равна. А D Анализ.

к Построение. М L C B N A D Квадрат ВМND – искомый. Доказательство. ч.т.д.

Литература. И. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов техникумов. Издательство: Москва М. И. Абрамович Математика. Издательство: Москва 1976 г. В. А. Чистяков. Старинные задачи по элементарной математике. Издательство: Минск 1978 г.