«Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем.» Иоганн Кеплер Как измерить красоту и гармонию?

Что является одним из основополагающих принципов природы? Как измерить совершенство?

Выяснить: 1. Что такое золотое сечение? 2. Какова вероятность встретить золотое сечение в жизни?

I. Выбор темы проекта II. Постановка вопросов по выбранной теме III. Поиск и сбор информации IV. Создание презентаций V. Защита проекта

Есть вещи, которые нельзя объяснить. Вот вы подходите к пустой скамейке и садитесь на нее. Где вы сядете посередине? Или, может быть, с самого края? Нет, скорее всего, не то и не другое. Вы сядете так, что отношение одной части скамейки к другой, относительно вашего тела, будет равно примерно 1,62. Простая вещь, абсолютно инстинктивная... Садясь на скамейку, вы произвели «золотое сечение». О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» будут проповедовать Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» это одно и то же. А христианские мистики будут рисовать на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые от Пачоли до Эйнштейна будут искать, но так и не найдут его точного значения. Бесконечный ряд после запятой 1, Странная, загадочная, необъяснимая вещь: эта божественная пропорция мистическим образом сопутствует всему живому. Неживая природа не знает, что такое «золотое сечение».

С древних времен, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести «формулу красоты». Ряд «формул красоты» известен это - правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т.д.; это - законы симметрии. Можно привести множество примеров присутствия симметрии в окружающем нас мире. Симметрию легко обнаружить в природных и рукотворных формах. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм предмета, объясняется не только выполнением законов симметрии, но и присутствием так называемой «божественной» пропорции, «золотого сечения» в соотношении частей, на которые предмет делится естественным образом. Соблюдение пропорций в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания. «Золотое сечение» являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху Возрождения. Знания об этом уникальном отношении частей к целому продолжают наполняться новым содержанием, проникая в самые разнообразные области человеческих знаний.

Фидиас (Phidias) (490–430 BC) создал статуи Парфенона, которые своими пропорциями воплощают золотое сечение. Платон (427–347 BC) в своем труде Timaeus описывает пять возможных правильных геометрических тел (Платоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), часть из которых имеет отношение к золотому сечению. Евклид (325–265 BC) в своих Элементах дал первое письменное определение золотого сечения, которое в переводе было названо «деление в крайнем и среднем отношении (extreme and mean ratio)» (греч. ακροςκαιμεσοςλογος). Фибоначчи (Fibonacci) (1170–1250) открыл числовой ряд, теперь называемый его именем, который тесно связан с золотым сеченифем. Фра Лука Пачоли (Fra Luca Pacioli) (1445–1517) совместно с Леонардо да Винчи определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)». Леонардо да Винчи (1451–1519) совместно с Пачоли определил золотое сечение как «божественную пропорцию» в их труде «Божественная пропорция (Divina Proportione)» и, по-видимому, ввел термин золотое сечение (лат. gold aurea). Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) (1571–1630) называет золотое сечение "драгоценным камнем": «Геометрия обладает двумя великими сокровищами: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении; первое можно сравнить с мерой золота, второе назвать драгоценным камнем». Чарльз Боне (Charles Bonnet) (1720–1793) указывает, что в спиралях растений, закрученных по и против часовой стрелки, часто обнаруживается ряд Фибоначчи. Мартин Ом (Martin Ohm) (1792–1872) был первым, кто систематически использовал слова золотое сечение для описания этого отношения. Эдвард Лукас (Edouard Lucas) (1842–1891) вводит числовую последовательность, теперь известную как последовательность Фибоначчи в её нынешнем виде. Марк Барр (Mark Barr) (20 в.) вводит «Ф» первую греческую букву имени Фидиас для обозначения золотого сечения. Роджер Пенроуз (Roger Penrose) (р.1931) открывает симметрию, использующую золотое сечение в области «апериодических черепиц», которая привела к новым открытиям в квазикристаллах.

Алгебраическое нахождение золотого сечения отрезка длины a сводится к решению уравнения a:x = x:(a x), откуда Отношение x:a может быть также выражено приближенно дробями где числа Фибоначчи.

Дано: отрезок АВ Построить: золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, что Построение: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD.

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о «Золотой спирали», «Втором золотом сечении» и числа Фибоначчи

Золотая спираль, которая является разновидностью логарифмической или изогональной спирали, не имеет границ и является постоянной по форме. Из любой точки спирали можно двигаться бесконечно или в направлении внутрь, или наружу. Центральная часть логарифмической спирали, рассмотренная через микроскоп, имела бы тот же облик, что и самая широкая видимая ее часть на удалении многих световых лет. Как указывал Давид Бергамини в Математике, хвост кометы раскручивается от солнца в форме логарифмической спирали. Паук Epeira прядет свою паутину в виде логарифмической спирали. Бактерии размножаются в логарифмической прогрессии, которую можно начертить в виде логарифмической спирали. Метеориты, врезаясь в поверхность Земли, формируют впадины, которые соотносятся с логарифмической спиралью. Сосновые шишки, морские коньки, раковины улиток, раковины моллюсков, волны океана, папоротники, рога животных и расположение семян подсолнуха и маргаритки - все они образуют логарифмические спирали.

Облака циклона и галактики открытого космоса скручиваются в логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму умирающего листа, когда сжимается. Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остается тем же самым: коэффициент 1.618, возможно, первостепенный закон, управляющий активными природными явлениями. Таким образом, Золотая спираль развертывается перед нами в символической форме, как один из величественных замыслов природы, образ жизни в бесконечном расширении и сжатии, статический закон, управляющий динамическим процессом, подкрепленный и изнутри, и снаружи пропорцией 1.618, Золотым сечением.

Широкое использование золотой спирали характерно для художественных произведений Рафаэля, Микеланджело и других итальянских художников. Многофигурная композиция «Избиение младенцев», выполненная в годах Рафаэлем, отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев» На подготовительном эскизе Рафаэля проведена плавная линия, охватывающая всю картину. Линия начинается в смысловом центре композиции – точке, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, и далее идет вдоль фигуры ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить все эти куски кривой пунктиром, то с очень высокой точностью получается золотая спираль!

В любой точке развития Золотой спирали, отношение длины дуги к ее диаметру равно Диаметр и радиус в свою очередь соотносятся с диаметром и радиусом, отстоящих на угол в 90°, с коэффициентом

Болгарский журнал «Отечество» (10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Дано: отрезок АВ Построить: второе золотое сечение Построение: Из точки E восставляется перпендикуляр ED равный АВ Прямой угол АЕD делится пополам. EK – биссектриса. Точка С = AD EK Точка Е делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

Дано: ABCD – прямоугольник EF – линия золотого сечения Построить: второе золотое сечение Построение: KL – отрезок ( К є АВ; L є CD; AK=KB; CL=LD) MN – отрезок (M є KE; N є FL; KM=ME; FN=NL ) Точки M и N делят соответствующие стороны в отношении 56:44

Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Фибоначчи. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.

"Пусть в огороженном месте есть пара кроликов (самка и самец) в 1- ый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в 1-ый день февраля и затем в 1-ый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?" Месяц Количество взрослых пар Кол-во новорожденных пар Общее кол-во пар

Изучая последовательности чисел, обозначающих количество пар кроликов, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности, начиная с некоторого номера, равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через F n, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы: F n = F n-1 + F n-2 Такая формула называется рекуррентной формулой. В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... Если в ряду чисел Фибоначчи взять отношение последующего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется "золотое" соотношение.

Числа Фибоначчи U k Отношение х =U k /U k-1 x -Ф 1 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Кроме того, n-я степень числа Ф выражается замечательной формулой: где a n - n-ое число Фибоначчи, а b n - n-ый член последовательности 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,..., строящейся по тому же принципу, что и последовательность Фибоначчи.

Дано: ABCD – золотой прямоугольник FG – линия золотого сечения Построить: золотую спираль Построение: квадрат FBMK квадрат MCLN квадрат LGPR (аналагично можно продолжать бесконечное множество раз) спираль, проходящую через точки D,F,M,L,P… диагонали AC и BG (диагонали AC и BG точкой пересечения обозначают мнимый центр спирали) спираль D,F,M,L,P… - золотая

Дано: AB – луч Построить: золотой треугольник Построение: От точки А откладываем на луче три раза отрезок O произвольной величины, получаем отрезок AP. отрезок dd 1 = 2*O (dd 1 AP; P є dd 1 ; dP=Pd 1 ) Ad; Ad 1 d 1 C=dd 1 (d 1 C є Ad 1 ) точка С разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Треугольник Add 1 – «золотой» (Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника)

Дано: квадрат ABCD Построить: золотой прямоугольник Построение: точка Е – середина АВ окружность (Е;ЕС) точка F= AB окр. (Е;ЕС) a – прямая (а AF; F є a) точка G= DC a точки В и С делят соответствующие стороны в отношении 62:38 Прямоугольник AFGD – «золотой»

Дано: окружность (O;R); Точка A є окружности (O;R); E – середина AO Построить: золотой пятиугольник Построение: DO OA (точка D є окружности (O;R)) AK – диаметр CE = ED (CE є AK) Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

- в природе - в строительстве, архитектуре и скульптуре - в искусстве (смотрите другие презентации)

Изучая материалы по золотому сечению, можно сделать выводы, что ни кто не может дать точно определение золотого сечения, можно лишь сказать, что золотое сечение – это выверенное соотношение чисел, благодаря которому можно строить, рисовать, делать скульптуры, обогащая свои произведения скрытой силой. В ероятность встретить его в повседневной жизни составляет 99,9% Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

htm html htm 12. htm html roo.esoo.ru/rmo/matemat/project/DswMedia/metod_proektov.htmhttp://aleksandr- roo.esoo.ru/rmo/matemat/project/DswMedia/metod_proektov.htm