Элипс

. Э́липс (др.-греч. λλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F 1 и F 2 (называемых фокусами) постоянна, то есть | F 1 M | + | F 2 M | = 2a. Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, элипс является коническим сечением и квадрикой. Элипс также можно описать как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональную проекцию окружности на плоскость

1 Связанные определения 2 Свойства 3 Соотношения между элементами эллипса 4 Координатное представление 4.1 Каноническое уравнение 4.2 Параметрическое уравнение 4.3 Уравнение в полярных координатах 5 Длина дуги эллипса 5.1 Приближённые формулы для периметра 6 Площадь эллипса Содержание

Связанные определения Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на элипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении. Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на элипсе, называется малой осью эллипса. Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром. Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами. Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b. Расстояния r 1 и r 2 от каждого из фокусов до данной точки на элипсе называются фокальными радиусами в этой точке. Расстояние называется фокальным расстоянием. Эксцентриситетом эллипса называется отношение. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем элипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Связанные определения Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса. Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью:. Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением

Свойства Фокальное свойство. Если F 1 и F 2 фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей элипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F 1 X) равен углу между этой касательной и прямой (F 2 X). Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими элипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы. Эволютой эллипса является астроида. Элипс также можно описать как Фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование Ортогональную проекцию окружности на плоскости. Пересечение плоскости и кругового цилиндра

а- большая полуось; b- малая полуось; c- фокальное расстояние (полу расстояние между фокусами); p- фокальный параметр; - пери фокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на элипсе); - а по фокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на элипсе); Соотношения между элементами Элипса

– фокальный параметр – пери фокусное расстояние – а по фокусное расстояние – большая полуось – малая полуось – фокальное расстояние

Координатное представление Каноническое уравнение Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что элипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса): Оно описывает элипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Для определённости положим, что В этом случае величины a и b соответственно, большая и малая полуоси эллипса. Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет: Координаты фокусов эллипса: Элипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как Фокальный параметр (т.е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен Уравнение диаметра, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом k: Уравнение касательных, проходящих через точку Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент k:: Уравнение нормали в точке

Координатное представление Параметрическое уравнение Каноническое уравнение эллипса может быть параметризованной: Где параметр уравнения.

Длина дуги эллипса Длина дуги плоской линии определяется по формуле: Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение: После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид: Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода.эллиптических интеграловэллиптическому интегралу второго рода В частности, периметр эллипса равен:, где полный эллиптический интеграл второго рода.полный эллиптический интеграл второго рода

Длина дуги эллипса Приближённые формулы для периметра YNOT: где Максимальная погрешность этой формулы ~ % при эксцентриситете эллипса ~ (соотношение осей ~1/5). Погрешность всегда положительная. Очень приближенная формула

Площадь эллипса Площадь Площадь эллипса вычисляется по формуле Где и полуоси эллипса.

Инф.Источник: Выполнил: Федоров Павел И1-08