Кривые второго порядка Лекция 11. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат х и у. - презентация

1 Кривые второго порядка Лекция 11

2 Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат х и у.

3 Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки плоскости, называемой центром окружности. Уравнение окружности

4 Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек (плоскости), сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами этого эллипса, есть величина постоянная.

5

6

7 Уравнение эллипса

8 Эллипс

9 Оси симметрии эллипса называются его осями, точка их пересечения- центром эллипса, ось, на которой находятся фокусы (в данном случае это ось абсцисс) называется фокальной осью.

10 Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Это точки с координатами Числа называются полуосями эллипса.

11 Отношение, называется эксцентриситетом эллипса и характеризует его форму, ничего не говоря о его размерах. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше подкоренное выражение в числителе дроби, тем меньше малая полуось отличается от большой и, значит, тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси.

12 Замечание Если,то фокальной осью является Фокусы :

13 Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

14 X Y Y M У

15 Уравнение гиперболы

16 Гипербола

17 Из уравнения гиперболы видно, что точек пересечения с осью Оу нет. Ось Ох называют действительной осью, а ось Оу – мнимой осью гиперболы. Гипербола имеет две вершины, лежащие на фокальной оси. Это точки и

18 Основной прямоугольник гиперболы Прямоугольник, проходящий через точки со сторонами, параллельными осям координат, называется основным прямоугольником гиперболы.

19 Для гиперболы Фокусы гиперболы :

20 Оси и полуоси гиперболы Принято говорить: и - действительная и мнимая оси и - действительная и мнимая полуоси - фокальная ось

21 Асимптоты Гипербола имеет две асимптоты, т. е. прямые, к которым приближаются точки этой кривой при неограниченном их удалении от начала координат вдоль по гиперболе в бесконечность. Их уравнения

22 Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости», т. е. чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, а, значит, тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник

23 Замечание Для гиперболы -мнимая ось,а -действительная ось

24 Парабола Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

25 Если расположить ось Ох перпендикулярно директрисе и провести ее через фокус в направлении от директрисы к фокусу, обозначив при этом расстояние от фокуса до директрисы р, то можно показать, что в этом случае уравнение параболы будет иметь вид: а если через фокус провести ось Оу, то уравнение имеет вид:

26 Парабола

27 Фокус параболы -, вершина параболы – в точке директриса параболы это прямая

28 Парабола

29 Фокус этой параболы вершина такой параболы находится в точке, директриса параболы- это прямая

30 Самостоятельно изучить параболы

31 Общее уравнение кривой второго порядка Уравнение кривой второго порядка может иметь вид В простейшем случае при В=0 можно определить тип кривой, определяемой общим уравнением, выделяя полные квадраты переменных и сводя общее уравнение к каноническому уравнению той или иной кривой.

32 Пример Привести уравнение 2 х²+3 у²-16 х-64=0 кривой второго порядка к каноническому виду и найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, и, если кривая имеет асимптоты, уравнения асимптот.

33 Для того чтобы привести уравнение кривой к каноническому виду, выделим полный квадрат переменной х. Для этого произведем преобразования: 2(х²-8 х)+3 у²-64=0; 2(х²-8 х+16-16)+3 у²-64=0. 2((х-4)²-16)+3 у²-64=0; 2(х-4)²+3 у²-32-64=0; 2(х-4)²+3 у²=96. Разделим теперь обе части уравнения на 96 и получим уравнение

34 Это каноническое уравнение эллипса. Полуоси этого эллипса соответственно равны:. Центр эллипса находится в точке С(4;0). Эксцентриситет находят по формуле.

35 Пример Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен Решение. По условию 2 с = 26, Следовательно, большая полуось гиперболы

36 Тогда малая полуось Уравнение гиперболы имеет вид

37 Пример Составить уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами равно 30. Решение. 2 с=30, т.е. с=15. Тогда а уравнение гиперболы имеет вид

38 Изобразим гиперболу. Для этого построим основной прямоугольник, где

39 Пример Парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку А(4;-1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить уравнение параболы. Такая парабола имеет уравнение Найдем р, подставив в уравнение координаты точки А: 1=2 р 4, р=1/8=0,125. Тогда имеем: