Учитель высшей категории Черноус О.Ш. Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 8

II. Г РАФИЧЕСКИЙ МЕТОД : Пример 1. Решите неравенство | х | + | у | 5 1) у>0, х>0 х 0 1 у I четверть х + у 5, у - х ) у>0, х<0 II четверть -х + у 5,у х ) у<0, х<0 III четверть -х - у 5,у -х ) у 0 IV четверть х - у 5, Ответ: все точки заштрихованной области. у х - 5

1) Построим ромб 2|х| + |у| 5 х 0 1 у 2,5 5 -2, Ответ: 25 Пример 2. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством 2 |х - 4|+ |у - 2|5 и найдите её площадь. Заданную фигуру получим параллельным переносом на вектор ОО S = ½(d 1 d 2 ) S = ½(10 5) S = 25.

Пример 3. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством: х 2 + у 2 6|х| Решение. х 0 1 у х 2 + у 2 - 6|х| Круг С(3;0), r =3 (|х| - 3) 2 + у 2 9 1) х 0 (х - 3) 2 + у 2 9 2) x < 0 (х + 3) 2 + у 2 9 Круг С(-3;0), r =3

М ЕНЬШЕ, МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО Достаточно, чтобы избавится от знака модуля во многих неравенствах перепишем в другом виде: аналогично: При решении неравенств оказалось достаточно вместо |f| взять сначала f, затем -f. Решать два неравенства в системе!

П РИМЕР 4. Исходное неравенство равносильно системе: 2|х + 5| + 4|х - 1| + |х - 7|- х – 23 0 Желая упростить решение, проверим истинность исходного неравенства, при х = -5, 1, = = = -6

2|х + 5| + 4|х - 1| + |х - 7|- х – 23 0 Ответ: Так, как при х = -5 и х = 7 исходное неравенство ложно, то можно решать следующую систему:

П РИМЕР 5. х ах + а 2 -| х | - |х + а – 1| При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех значениях х? Неравенство содержит два модуля ( |х| и |х + а - 1|) и относительно любого из них ( из-за знака минус перед ними ) имеет вид |f| g. Неравенство равносильно системе: х ах + а 2 – х - |х + а – 1| х ах + а 2 + х - |х + а – 1| В этой системе каждое из неравенств относительно модуля |х + а – 1| имеет вид |f| g.

Поэтому исходное неравенство равносильно системе из четырех неравенств. х ах + а 2 – х - (х + а – 1) х ах + а 2 - х + (х + а – 1) х ах + а 2 + х - (х + а – 1) х ах + а 2 + х + (х + а – 1) х ах + а 2 – х - (х + а – 1) х ах + а 2 - х + (х + а – 1) х ах + а 2 + х - (х + а – 1) х ах + а 2 + х + (х + а – 1) + 3 0

Ответ: х х(а - 1) + а 2 – а + 4 0, х ах + а 2 + а + 2 0, х ах + а 2 – а + 4 0, х х(а + 1) + а 2 +а + 2 0; Дискриминанты всех квадратных трехчленов должны быть неположительные. D 1 0, D 2 0, D 3 0, D 4 0; -a - 3 0, -a - 2 0, a - 4 0, a - 1 0; a -3, a -2, a 4, a 1; a -2, a a 1. [-2; 1].

II. Б ОЛЬШЕ, БОЛЬШЕ ИЛИ РАВНО перепишем в другом виде: При решении неравенств достаточно |f| заменить на f,затем на (-f) и полученные два неравенства решать объединением. П РИМЕР 6. х 2 + |х - а| + |х - 1| > 2. Найти все значения параметра а, при котором неравенство выполняется для всех значений х

Исходное неравенство должно выполняться для всех значений х. Это равносильно отрицательности хотя бы одного дискриминанта. х 2 + |х - а| - (х – 1) > 2, х 2 + |х - а| + (х – 1) > 2 Неравенство равносильно следующей системе объединений. х 2 - (х – а) - (х – 1) > 2, х 2 + (х – а) - (х – 1) > 2 х 2 - (х – а) + (х – 1) > 2, х 2 + (х – а) + (х – 1) > 2 х х + а – 1 > 0, х 2 – а – 1 > 0, х 2 + а – 3 >0, x 2 + 2x – a – 3>0; D1 < 0,D1 < 0, D2 < 0,D2 < 0, D3 < 0,D3 < 0, D 4 < 0; -а + 2 < 0, а + 1 < 0, -а + 3 < 0, a + 4 < 0; а < -1, a > 2. Ответ:

П РОИЗВОЛЬНАЯ СИТУАЦИЯ. П РИМЕР 7. |2 х + 23| - 2|2 х - 19| < х - 20 Ответ: Решение. ( 1 способ) Относительно первого модуля неравенство имеет вид: | f | < g, относительно второго | f | > g. (2 х + 23) - 2|2 х - 19| < х (2 х + 23) - 2|2 х - 19| < х - 20 (2 х + 23) – 2(2 х – 19) < х - 20 (2 х + 23) + 2(2 х – 19) < х (2 х + 23) – 2(2 х – 19) < х (2 х + 23) + 2(2 х – 19) < х - 20 х > 27 х < -1 х > 5 х < х є (-;-1)U(27;) х є (-;) х є (-;-1)U(27;)

П РОИЗВОЛЬНАЯ СИТУАЦИЯ. П РИМЕР 7. |2 х + 23| - 2|2 х - 19| < х - 20 Ответ: Решение. ( 2 способ) |2 х + 23| - 2(2 х – 19) < х - 20 |2 х + 23| + 2(2 х – 19) < х - 20 (2 х + 23) – 2(2 х – 19) < х (2 х + 23) - 2(2 х – 19) < х - 20 (2 х + 23) + 2(2 х – 19) < х (2 х + 23) + 2(2 х – 19) < х - 20 х > 27 х < -1 х > 5 х < х є (-;-1)U(27;) х > 27 х < -1

П РИМЕР 8. Р ЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО : ||х 2 -6 х+8| - 3| х - 1 Относительно внешнего модуля неравенство имеет вид: | f | g, |х 2 -6 х+8| - 3 х – 1, -|х 2 -6 х+8| +3 х – 1; |х 2 -6 х+8| х + 2, |х 2 -6 х+8| -х + 4; | f | g, х 2 -6 х+8 х + 2, х 2 -6 х+8 -х + 4; -(х 2 -6 х+8) х + 2, -(х 2 -6 х+8) -х + 4; х 2 -7 х + 6 0, х 2 -5 х , х 2 -5 х + 4 0, х 2 -7 х , (х -1)(х – 6) 0, (х – 1)(х - 4) 0, (х - 3)(х – 4) 0,

(х -1)(х – 6) 0, (х – 1)(х - 4) 0, (х - 3)(х – 4) 0, х 1, х 6, 1 х 4, х 3, х 4, х 1, х 6, 1 х 3, х = 4, х 3, х = 4, х 6,