А В С Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А1

a Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. точки прямой лежат в этой плоскости. A B А2А2

a Если две плоскости имеют общую точку, то они Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. А3А3

Некоторые следствия из аксиом. Некоторые следствия из аксиом. Теорема Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М a Q P

Доказательство: -Отметим на прямой а две точки Р и Q. По А1 через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит некоторая плоскость. - Так как две точки прямой лежат в плоскости, то по А2 плоскость проходит через прямую а. -Единственность плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М,Р,Q. - Следовательно эта плоскость совпадает с данной плоскостью, так как по А1 через точки М,Р,Q проходит только одна плоскость.

Некоторые следствия из аксиом. Некоторые следствия из аксиом. Теорема Теорема Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна Мa b N

Доказательство: -Отметим на прямой b какую-нибудь точку N. Через прямую a и точку N проходит плоскость. Так как две точки прямой b лежат в плоскости, то по А2 вся прямая лежит в плоскости. Итак, плоскость проходит через прямые a и b. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые a и b, проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с данной плоскостью.

А В С D А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Пользуясь рисунком назовите три плоскости, содержащие прямую АВ 1 Проверить (3)

Проверить (2) 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? Предположим три точки А, В и С лежат на одной прямой m. Тогда через прямую m и точку D, не лежащую на этой прямой проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию задачи. А В С D m

Проверить (2) 4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. б) Могут ли прямые АВ и СD пересекаться? ответ обоснуйте. Предположим прямые АВ и СD пересекаются. Тогда через две пересекающиеся прямые проходит плоскость (теорема). Это противоречит условию задачи. А В С D