Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. mathvideourok.moy.su. - презентация

1 Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. mathvideourok.moy.su

2 Расположение прямых в пространстве: α α a b a b a b a || b Лежат в одной плоскости!

3 A1A1 B1B1 D1D1 A B D C1C1 Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 1. Являются ли параллельными прямые АА 1 и DD 1 ; АА 1 и СС 1 ? Почему? АА 1 || DD 1, как противоположные стороны квадрата, лежат в одной плоскости и не пересекаются. АА 1 || DD 1 ; DD 1 || CC 1 AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

4 Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b

5 Дано: а. в =С, С а Докажем от противного. Допустим, что а и в лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.Она проходит через точку С и прямую а. Тогда совпадают. Но это невозможно так как прямая в =С и лежать в ней не может. Наше предположение неверно, а и в не лежат в одной плоскости, а значит скрещиваются согласно определению. Доказать, что а и в скрещиваются a b Доказательство: С

6 Закрепление изученной теоремы: C1C1 C A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1. Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С?

7 Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с СD. Доказать, что через АВ проходит единственная CD II. Доказательство: А В C D 1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD. Е 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. 3. α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.(Лемма)

8 Сонаправленные лучи Два луча ОА иО 1 А 1, Два луча ОА иО 1 А 1, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО 1. Два луча ОА иО 1 А 1, Два луча ОА иО 1 А 1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.

9 Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

10

11

12 Рассмотрим углы между прямыми аIIв, то =0 α а в

13 а и в пересекаются, то меньший из углов. 0 < <90 0 < <90 α в a

14 а и в скрещиваются a в