Углы с сонаправленными сторонами. полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. - презентация

1 Углы с сонаправленными сторонами

2 полуплоскость граница Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. а

3 Сонаправленные лучи О А М С К Р Два луча ОМ и АС, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ОА В Лучи, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой Т Н Лучи ОМ и АС – сонаправлены Лучи ВР и КР – сонаправлены Лучи КР и ОМ, АС и ТН – не являются сонаправленными

4 Углы с сонаправленными сторонами A О О1О1О1О1 О2О2 A1A1 В2В2 A2A2 О3О3 A3A3

5 Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны Теорема об углах с сонаправленными сторонами О О1О1О1О1 Дано: О и О 1 с сонаправленными сторонами О = О 1 Доказать:

6 ДоказательствоО О1О1О1О1 A1A1A1A1 A B1B1B1B1 B Отметим точки А, В, А 1, В 1, такие что ОА=О 1 А 1 и ОВ=О 1 В 1 Рассмотрим ОАА 1 О 1 и ОВВ 1 О 1 ОА|| О 1 А 1 ОА = О 1 А 1 ОАА 1 О 1 –параллелограмм ( по признаку ). Значит, АА 1 ||ОО 1 и АА 1 = ОО 1 Аналогично: ВВ 1 || ОО 1 и ВВ 1 = ОО 1. АА 1 || ОО 1 ВВ 1 || ОО 1, АА 1 || ВВ 1 АА 1 = ОО 1 ВВ 1 = ОО 1, АА 1 = ВВ 1 АА 1 В 1 В – параллелограмм АВ = А 1 В 1 АВО = А 1 В 1 О 1 (по 3 м сторонам) Вывод:

7 Угол между двумя прямыми

8 Угол между двумя прямыми a b Пусть α - тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α.

9 a b 30 0 n m Угол между прямыми m и n равен Угол между прямыми а и b равен 30 0.

10 Угол между скрещивающимися прямыми а b а ba bb М Через произвольную точку М проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. m n Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен φ

11 Угол между скрещивающимися прямыми а b а b a b М Точку М можно выбрать произвольным образом. m В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

12 Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 60 0 D В EF СD EF СDА C ? F E

13 Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =45 0. М D МА ВС С А ? B

14 т Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = А В D С 128 0

15 АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 130 0, АА 1 BB 1 CC 1 DD 1 и АА 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1. Найдите угол между прямыми АВ и А 1 D 1. Рассмотрите различные способы.

16 АD С А1А1 B1B1 С1С1 D1D1 В На рисунке АВСD – параллелограмм, ВСC 1 = 120 0, АА 1 BB 1 CC 1 DD 1 и АА 1 = BB 1 = CC 1 =DD 1. Найдите угол между прямыми ВВ 1 и АD.