Геометрический смысл производной Урок 37 По данной теме урок 1

Подготовительная работа 1. В прямоугольном треугольнике АВС длины катетов АС и ВС равны соответственно 3 см и 5 см, А =, В =. Найдите: tg, ctg, tg(180 - ), tg(180 - ).

Подготовительная работа 2. Построить прямые у = 2 х + 2, у = -х + 3, отметить угол между каждой прямой и положительным направлением оси абсцисс и какую-нибудь точку М на стороне угла, не лежащей на оси абсцисс. 3. Спроектировать точку М на ось абсцисс и найти tg. 4. Сделать вывод. Тангенс угла, образованного прямой у = kx + b и положительным направлением оси абсцисс, равен k. tg = k Число k называется угловым коэффициентом прямой y = kx + b.

Подготовительная работа Если прямая параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то угол между прямой и осью считается равным нулю, т. е. в этом случае тангенс угла равен угловому коэффициенту прямой. у = b у = 0x + b, k =0 Каков характер изменения функции? Если k > 0, то функция возрастает. Если k < 0, то функция убывает. Если k = 0, то функция постоянна.

Назовите угловой коэффициент прямой и характер изменения функции: а) у = х + 4; б) у = -2 х + 1; в) у = 3; Найдите угол между прямой и осью абсцисс: а) у = х + 1; б) у = -х + 2; д) у = 2 х – 3.

х-х 0 Выведем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку М 0 (х 0 ; у 0 ). Дано: прямая a, k – угловой коэффициент, М 0 (х 0 ; у 0 ) а. Вывести уравнение прямой. АММ 0 находим у-у 0 М(х; у) Новый материал х у О М 0 (х 0 ; у 0 ) х 0 х 0 х А(х; у 0 ) уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х 0 ; у 0 )

Выполнение упражнений Чему равен угловой коэффициент прямой? Вывод уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку М 0 (х 0 ; у 0 ), показывает, что угловой коэффициент прямой равен отношению разности ординат двух точек прямой к разности абсцисс этих точек.

Найдите угловой коэффициент прямой АВ, если: а) А(1; 5), В(3; 9); б) А(-2; 1), В(-3; 4); в) А(0; 3), В(4; 1); г) А(а; b), B(a+1; b+5); д) А(а; а 2 ), В(b; b 2 );

0 Выполнение упражнений е) точки А и В лежат на графике функции y = sin x и имеют абсциссы 0 и соответственно;

f(х 0 ) x y 0 х 0 х 0 Выполнение упражнений ж) точки А и В лежат на графике функции y = x 2 и имеют абсциссы х 0 и х 0 +h соответственно; х 0+hх 0+h f(х 0 +h)

х 0 х 0 x y 0 Выполнение упражнений з) точки А и В лежат на графике функции y = f(x) и имеют абсциссы х 0 и х 0 +h соответственно. х 0+hх 0+h f(х 0 ) f(х 0 +h)

Новый материал Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f(x). Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х 0 и существует f(x 0 ). Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x). x y 0 М А f(x 0 ) f(x 0 +h) x 0 + hx0x0 C h f(x 0 +h) – f(x 0 ) Прямая АМ называется секущей к графику функции y = f(x). Угловой коэффициент прямой АМ k = k(h) равен уравнение прямой АМ: y = f(x)

Новый материал Пусть h 0, тогда точка М, двигаясь по графику, приближается к точке А, а секущая поворачивается вокруг точки А. Если существует т.е. существует предельное положение секущей, то прямая называется касательной к графику функции y = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 )). Итак, касательная к графику функции y = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 )) предельное положение секущей МА при h 0. x y 0 М А f(x 0 ) f(x 0 +h) x 0 + hx0x0 C h y = f(x)

Новый материал Так как k 0 – угловой коэффициент касательной, то где угол, образуемый касательной с положительным направлением оси Ох. Итак, Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f(x) в точке х 0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(x) в точке (х 0 ; f(x 0 )). x y 0 М А f(x 0 ) f(x 0 +h) x 0 + hx0x0 C h f(x 0 +h) – f(x 0 ) y = f(x)

Закрепление 857(1, 3) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4)

Закрепление 858(1, 3) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4)

Закрепление 859(1, 3, 5) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4)

Закрепление 859(1, 3, 5) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4)

Закрепление 863(3) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4) у х 0

Закрепление 864(4) 857(1, 3) 858(1, 3) 859(1, 3, 5) 863(3) 864(4) у х 0 1 2

Домашнее задание § (2, 4), 859(2, 4, 6), 863(1, 2)