Теорема Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной. Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Advertisements

Теорема 1 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Прямоугольник. Прямоугольник Чем прямоугольник отличается от параллелограмма?
Теорема Фалеса Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки.
ПараллелограммПараллелограмм. Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
Презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме: Теорема Фалеса
Параллелограмм. Параллелограмм Что общего у всех этих четырехугольников?
Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок.
Признаки параллелограмма. Первый признак Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые. A= B= C= D=90˚ Учитель математики ГОУ СОШ 619 г. Москвы Годунова Н.В.
Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник.
Пифагор Пифагор (580–500 гг. до н. э.) - один из величайших ученых Древней Греции, а теорема Пифагора - одна из самых красивых в геометрии. Школа Пифагора.
Трапеция свойства и признаки. Свойства и признаки равнобедренной трапеции Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие.
Средняя линия треугольника Урок 1. I. Устная работа 1) Может ли треугольник быть невыпуклым? 2) Где расположена точка пересечения высот прямоугольного.
МНОГОУГОЛЬНИКИ ВИДЫ: Выпуклый многоугольник Невыпуклый многоугольник (все вершины находятся по одну сторону от прямой, соединяющей две.
Все о параллелограмме Здесь мы рассмотрим определение, признаки, свойства, а также нахождение площади параллелограмма.
Признаки параллелограмма Решение задач. 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма.
Кривые постоянной ширины Для определения ширины h замкнутой кривой рассмотрим две параллельные прямые, между которыми расположена данная кривая. Будем.
Второй признак подобия треугольников Теорема. (Второй признак подобия.) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника.
Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность.
Транксрипт:

Теорема Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины самой ломаной. Доказательство. Рассмотрим, например, ломаную ABCDE. Заменим соседние стороны AB и BC на отрезок AC. При этом длина ломаной уменьшится или, по крайней мере, не увеличится. Будем и дальше заменять соседние стороны ломаной на отрезки, пока не дойдем до отрезка, соединяющего начало и конец ломаной. При этом каждый раз длина ломаной не будет увеличиваться. Значит, длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не превосходит длины всей ломаной.

Упражнение 1 Ответ: 4 см. Для точек А, В, С, D на плоскости выполняются равенства АВ = 3 см, ВС = 4 см, CD = 5 см и неравенство AC + BD 2 см. Найдите AD.

Упражнение 2 Ответ: а) 8, 2; б) 8, 5; в) 8, 1. На рисунке изображены стержни, соединенные шарнирами, которые могут свободно двигаться. Для каждой конструкции найдите наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно раздвинуть концы A и B.

Упражнение 3 Докажите, что для всякой точки O, взятой внутри треугольника ABC, выполняется неравенство AC + BC > AO + BO. Решение: Обозначим D точку пересечения прямых AO и BC. Тогда AC + BC = AC + CD + DB > AD + DB = AO + OD + DB > AO + OB.

Упражнение 4 Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин меньше периметра треугольника и больше его полупериметра. Решение: Имеем неравенства AB < OA + OB < AC + BC, BC < OB + OC < AB + AC, AC < OA + OC < AB + BC. Складывая их, получим неравенства AB + BC + AC < 2(OA + OB + OC) < 2(AB + BC + AC), из которых непосредственно следуют требуемые неравенства.

Упражнение 5 Пусть ABC – треугольник, D – точка на стороне BC. На прямой AB найдите такую точку E, для которой разность CE – DE наибольшая. Ответ: Вершина B.

Упражнение 6 Внутри выпуклого четырехугольника ABCD найдите точку O, сумма расстояний от которой до вершин четырехугольника наименьшая. Ответ: Точка пересечения диагоналей. Для любой другой точки O сумма расстояний от нее до вершин будет больше.

Упражнение 7 Докажите, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра. Ответ: Имеем неравенства AС < AB + BC, AC < AD + CD, BD < AB + AD, BD < DC + CD. Складывая их, получим неравенство 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + AD), из которого непосредственно следуют требуемое неравенство.

Упражнение 8 Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше его полупериметра. Ответ: Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Имеем неравенства AO > AB – OB, BO > BC – OC, CO > CD – OD, DO > AD – OD,. Складывая их, получим неравенство 2(AC + BD) > AB + BC + CD + AD, из которого непосредственно следуют требуемое неравенство.

Упражнение 9 Приведите пример четырехугольника, у которого сумма диагоналей меньше его полупериметра. Ответ:

Упражнение 10 Докажите, что сумма диагоналей пятиугольника меньше его удвоенного периметра. Ответ: Имеем: AС < AB + BC, AD < AE + DE, BD < BC + CD, BE < AB + AE, CE < CD + DE. Складывая их, получим неравенство AC + AD + BD + BE + CE < 2(AB + BC + CD + DE + AE).

Упражнение 12 Сравните длины ломаных на рисунке, не измеряя их. Ответ: AB 1 C < AB 2 C < AB 3 C.

Упражнение 11 Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, D, расположенные в вершинах прямоугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Проверьте правильность своего выбора измерением линейкой. Ответ: в).