Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. - презентация

1 Теорема 1 Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, например, внешний угол ВСD и докажем, что он больше внутреннего угла АВС. Для этого через вершину А и середину Е стороны ВС проведем прямую и отложим на ней отрезок EF, равный АЕ. Треугольники АВЕ и FCЕ равны по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = СE, AE = FE, AEB = FEC). Следовательно, ABC = BCF. Но вершина F лежит внутри угла BCD. Поэтому угол BCF составляет только часть угла BCD. Значит, BCD > ABC.

2 Теорема 2 В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезок AD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, 1 = 2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому 1 B. Следовательно, имеем C > 1 = 2 > B.

3 Упражнение 1 Может ли внешний угол треугольника равняться одному из его внутренних углов? Ответ: Да, в прямоугольном треугольнике.

4 Упражнение 2 Может ли внешний угол треугольника быть меньше одного из его внутреннего углов? Ответ: Да, в тупоугольном треугольнике.

5 Упражнение 3 Сколько в треугольнике может быть: а) прямых углов; б) тупых углов? Ответ: а), б) Один.

6 Упражнение 4 Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B.

7 Упражнение 5 В треугольнике ABC сторона AB наибольшая. Какие углы этого треугольника острые? Каким может быть угол C? Ответ: Углы A и B острые. Угол C может быть острым, прямым или тупым.

8 Упражнение 6 Докажите, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона? Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол B больше угла A. Сторона AC не может равняться стороне BC, так как в этом случае угол A равнялся бы углу B. Сторона AC не может быть меньше стороны BC, так как в этом случае угол A был бы больше угла B. Следовательно, сторона AC больше стороны BC.

9 Упражнение 7 На рисунке угол 1 меньше угла 2. Каким соотношением связаны стороны AB и BC треугольника ABC? Ответ: AB > BC.

10 Упражнение 8 Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) угол A больше угла B, угол B больше угла C; б) угол A больше угла B, угол B равен углу C. б) BC > AB, AC = AB.

11 Упражнение 9 На рисунке DE

12 Упражнение 10 Какой вид имеет треугольник, если: а) два его угла равны; б) три его угла равны? Ответ: а) Равнобедренный; б) правильный.

13 Упражнение 11 На рисунке AB > BC. Докажите, что угол 1 больше угла 2. Ответ: Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то из неравенства AB > BC следует, что угол BAC меньше угла BCA. Значит, для смежных углов выполняется неравенство

14 Упражнение 12 На рисунке угол 1 больше угла 2. Докажите, что AB > BC. Ответ: Из неравенства следует, что угол BAC меньше угла BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AB > BC.

15 Упражнение 13 На рисунке угол 1 равен углу 2, CD < AB. Докажите, что угол 3 меньше угла 4. Ответ: На отрезке AB возьмем точку E так, что AE = CD. Треугольники ACD и CAE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, угол 3 равен углу ACE, который меньше угла 4.

16 Упражнение 14 На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 меньше угла 4. Докажите, что CD < AB. Ответ: От луча CA в полуплоскости, содержащей точку B, отложим угол, равный углу 3. Точку пересечение его стороны с отрезком AB обозначим E. Треугольники ACD и CAE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, CD = AE < AB.

17 Упражнение 15 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD < CD. Докажите, что угол C больше угла A. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, угол BAC равен углу BCA. В треугольнике ACD AD > CD, следовательно, угол DCA больше угла DAC. Значит, угол C больше угла A.

18 Упражнение 16 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, угол С больше угла A. Докажите, что AD < CD. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольник ABC – равнобедренный, следовательно, угол BAC равен углу BCA. Следовательно, угол DCA больше угла DAC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD.

19 Упражнение 17 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, AB < BC. Докажите, что угол A больше угла C. Ответ: Проведем диагональ AC. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол DAC больше угла DCA, угол BAC больше угла BCA. Значит, в четырехугольнике ABCD угол A больше угла C.

20 Упражнение 18 В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, угол A больше угла C. Докажите, что AB < BC. Ответ: Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Следовательно, угол BAC равен углу DAC, угол BCA равен углу DCA. Так как угол A четырехугольника ABCD больше угла C, то угол BAC больше угла BCA. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB < BC.

21 Упражнение 19 Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, AC > AB, CD = BD. Докажите, что угол ACD меньше угла ABD. Ответ: Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол ACB меньше угла ABC. Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACD меньше угла ABD.

22 Упражнение 20 Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, CD = BD, угол ACD меньше угла ABD. Докажите, что AC > AB. Ответ: Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACB меньше угла ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.

23 Упражнение 21 Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, AB > BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC меньше угла DEC. Ответ: Так как AB > BC, то угол BAC меньше угла BCA. Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, угол BAC меньше угла DEC.

24 Упражнение 22 Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, CD = DE, угол BAC меньше угла DEC. Докажите, что AB > BC. Ответ: Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Так как угол BAC меньше угла DEC, то угол BAC меньше угла BCA. Значит, угол AB > BC.

25 Упражнение 21* В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Докажите, что угол BCD больше угла ACD. Решение. Отложим на продолжении медианы CD отрезок DE, равный отрезку CD. Треугольники BCD и AED равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BC = AE и угол BCD равен углу AED. В треугольнике ACE сторона AC больше стороны AE, следовательно, угол E больше угла С. Значит, угол BCD больше угла ACD.

26 Упражнение 22* В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – биссектриса. Докажите, что AD больше BD. Решение. В силу предыдущей задачи, для медианы CM угол ACM меньше угла BCM. Следовательно, медиана CM лежит внутри угла ACD. Значит, AD > BD.