Средняя линия треугольника Урок 1. I. Устная работа 1) Может ли треугольник быть невыпуклым? 2) Где расположена точка пересечения высот прямоугольного. - презентация

1 Средняя линия треугольника Урок 1

2 I. Устная работа 1) Может ли треугольник быть невыпуклым? 2) Где расположена точка пересечения высот прямоугольного треугольника? 3) Периметр треугольника равен 54 см. Его стороны относятся как 2:3:4. Найдите его стороны. 4) Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см, боковая сторона составляет 3/5 периметра. Найдите основание треугольника. 5) Может ли проходить вне треугольника его: а) медиана; б) биссектриса; в) высота? 7) Определите вид треугольника, у которого: а) один угол равен сумме двух других углов; б) один угол больше суммы двух других; в) больший угол меньше суммы двух других углов. 8) В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 30. Определите острые углы данного треугольника.

3 II. Новый материал Изобразим треугольник ABC, найдем середины M и N его сторон соответственно AB и BC. Отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Вопросы - Как определить среднюю линию треугольника? - Сколько средних линий у треугольника?

4 Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 1).

5 - Какими свойствами обладает средняя линия треугольника? Выскажите предположение. Например, как на рисунке средняя линия MN треугольника ABC расположена относительно его стороны AC? Задание Измерьте в треугольнике ABC сторону AC и среднюю линию MN. Как связаны их длины? Выскажите предположение. После этого формулируем и доказываем теорему о свойствах средней линии треугольника.

6 Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине (рис. 2).

7 Дано: Δ АВС DE – средняя линия Δ АВС Доказать: 1. DE АВ. 2.DE= ½ АВ

8 I.Д.П. 1.на прямой DE отложим отрезок EF=DE 2.отрезок BF. II. Δ ECD=Δ EBF (по 2 стор. и углу м/д ними) CE=BE (по условию), DE=FE (по построению), 1=2 (вертикальные). BF=AD

9 Упражнение 1 Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Ответ: 4 см, 5 см и 6 см.

10 Упражнение 2 Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон другого треугольника. Найдите периметры треугольников. Ответ: 9см и 18 см.

11 Упражнение 3 Периметр треугольника равен 12,3 см. Найдите периметр треугольника, отсекаемого от данного какой-нибудь его средней линией. Ответ: 6,15 см.

12 1. Периметр равностороннего треугольника равен 132 см. Найдите его среднюю линию. 2. Стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. Предложите два способа решения. 3. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.параллелограмма. 4*. Одна из вершин треугольника не уместилась на рисунке. Постройте его медианы или их части.его медианы или их части

13 Упражнение 7 Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решение: Пусть ABCD – четырехугольник, E, F, G, H – середины его сторон. Тогда EF – средняя линия треугольника ABC и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Аналогично, HG – средняя линия треугольника ACD и, следовательно, параллельна AC и равна ее половине. Таким образом, стороны EF и HG четырехугольника EFGH равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм.

14

15 V. Задание на дом 1. Выучить теорию (п. 32 учебника). 2. Решить задачи. 1) 7 2) 8 3) У данного четырехугольника диагонали равны d1 и d2. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. 4*) Постройте прямоугольный треугольник по катету a и разности острых углов.