ПИРАМИДА Типовые задачи В-11. 1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 2. Во сколько раз увеличится площадь.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В 9, В 11. Комбинация: призма - пирамида. В создании презентации принимали участие ученики 10 В класса Козлов Артем и Синицына.

Advertisements

ПРИЗМА Типовые задачи В-11. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10. a Н Используем.

Обобщенный конус Пусть F - фигура на плоскости π, и S - точка вне этой плоскости. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с точкой S, образуют фигуру в пространстве,

Открытый банк заданий по математике

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ Теорема. Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. Доказательство. Рассмотрим случай треугольной пирамиды.

Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В 9, В 11. Пирамида. В создании презентации принимали участие ученики 10 АВ классов. Научный руководитель: Шахова Татьяна Александровна.

ПРИЗМА Типовые задачи В-11.

1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. Ответ. 8. Решение. Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует, что если диагональ куба.

1 Задания В 9 ЕГЭ Диагональ куба равна Найдите его объем 2 Ответ: 8 Решение Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует,

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности. Задача.

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Задание В 9 содержит задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур. Оно проверяет развитие пространственных представлений.

Задачи В10 и В13. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые). Найдите объем пространственного креста,

Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В 9, В 11. Призма. В создании презентации принимали участие ученики 10 А класса. Научный руководитель: Шахова Татьяна Александровна.

Отрезок AB длины 1 вращается вокруг прямой c, параллельной этому отрезку и отстоящей от него на расстояние, равное 2. Найдите площадь поверхности вращения.

Объемы многогранников на ЕГЭ Открытое занятие в 11 классе Ставрополь, 2014.

РАССТОЯНИЕ И УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМИ (РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРУППЫ С 2 ЕГЭ)

1. Изобразите сечение единичного куба A…D 1, проходящее через вершины A, B, C 1. Найдите его площадь. Ответ..

Готовимся к ЕГЭ. Задача С 2. Расстояние от точки до прямой. МБОУ г. Мурманска гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.

Полувписанная сфера Сфера называется полувписанной в многогранник, если она касается всех его ребер. Центром полувписанной сферы является точка, равноудаленная.

Транксрипт:

ПИРАМИДА Типовые задачи В-11

1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза? Формула объема пирамиды: Если высоту Н увеличить в 4 раза, то и объем увеличится в 4 раза. Ответ: 4 Если все ребра пирамиды увеличить в 2 раза, то мы получим подобную пирамиду (коэффициент подобия в данном случае равен k = 2) Площади подобных тел относятся как квадрат их коэффициента подобия k 2 = 2 2 = 4Ответ: 4

4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание прямоугольник со сторонами 3 и 4. Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = 6 – высота пирамиды В основании – прямоугольник: S = a. b = 3. 4 = 12 Ответ: 24 Формула объема пирамиды: В основании – прямоугольник: S = a. b = 3. 4 = 12 Ответ: 4

5. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = SH = 6 – высота пирамиды SAН = SDН = SGH = 60 0 SH – общая сторона SAН= SDН= SGH (по катету и острому углу) АН = DH = GH Из SGH: Ответ: 48

6. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. Основанием пирамиды будем считать грань, которая является прямоугольным треугольником S A B C Формула объема пирамиды: SA = SB = SC = 3 S – площадь основания, Н = SC = 3 – высота пирамиды Ответ: 4,5

7. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. A B C D E F M Пусть MF (боковое ребро) перпендикулярно основанию, Тогда MF = Н = 3 – высота пирамиды Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = 3 – высота пирамиды Рассмотрим основание: АВ СD E F S = S AFKB + S KCDE = AF. AB + CD. DE S = = 27 Подставляем данные в формулу объема пирамиды: Ответ: 27 K

8. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. У данного тетраэдра грани – равные правильные треугольники Сечением тетраэдра является квадрат, т.к. стороны сечения являются средними линиями треугольников и в 2 раза меньше параллельных им сторон. S = a 2 = 0,5 2 = 0,25 Ответ: 0,25

9. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВСА 1. Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Пусть- объем пирамиды - объем параллелепипеда Тогда Очевидно, что площадь основания параллелепипеда S 2, больше в 2 раза площади основания пирамиды S 1 S 2 = 2S 1 Ответ: 1,5

10. Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Тогда Отсюда получим: Ответ: 18

Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина B 1 общая Тогда найдем отношение объемов: Отсюда получим: Ответ: Объем параллелепипеда АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC. A В С D B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 H

12. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 СВ 1. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина В 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Отсюда: Ответ: 1,5 Очевидно, что пирамида AD 1 CB 1 находится внутри параллелепипеда. Надо только отрезать четыре равные треугольные пирамиды, у которых три ребра - измерения параллелепипеда (a, b, h), а другие три ребра – диагонали трех различных граней параллелепипеда: В 1 АВС; CВ 1 C 1 D 1 ; AA 1 B 1 D 1 ; D 1 ACD

13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной центр куба. MABCD – правильная четырехугольная пирамида, т.к в основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр этого квадрата А В С М А1А1 В1В1 С1С1 D D1D1 O O1O1 ОО 1 = H - высота куба ОМ = h - высота пирамиды Н = 2 h Формула объема куба: Формула объема пирамиды: Тогда найдем отношение объемов: Ответ: 2

14. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. V SABC = 12, V SMCN - ? Пирамиды SABC и SMCN имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. Тогда найдем отношение объемов: Т.к. MN – средняя линя треугольника, то АВС ~ MNC, где k = 2 Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия Ответ: 4

15. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. О К SABCD – правильная пирамида, в основании лежит квадрат, а высота SO = H проецируется в центр этого квадрата EABC – треугольная пирамида, в основании лежит АВС, а высота ЕК = h является средней линией BOS и равна половине SO H = 2h Тогда найдем отношение объемов: Очевидно, что площадь основания ABCD, больше в 2 раза площади основания ABC Ответ: 3

Тогда найдем отношение объемов: A B CD E F 16. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Пирамиды имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. O Очевидно, что S АВС = S AOB, т.е. площадь правильного шестиугольника в 6 раз больше площади АВС V SABCDEF = 6. V SABC = 6. 1 = 6 Ответ: 6

17. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 4 A B C A1A1 C1C1 B1B1 V приз = 6, V пир - ? Призма и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина С 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы, значит V пир = 2 Тогда объем оставшейся части: 6 – 2 = 4

18. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. A B C М 1 часть 2 части К V MABC = V KABC + V MABK = 15 Высота пирамиды МАВС (Н) содержит высоту пирамиды КАВС (h) Основание этих пирамид - ОБЩЕЕ Найдем их отношение: Объем оставшейся пирамиды равен: 15 – 10 = 5 Ответ: 10 М С К