1 Задания В 9 ЕГЭ 2014. 1. Диагональ куба равна Найдите его объем 2 Ответ: 8 Решение Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует, - презентация

1 1 Задания В 9 ЕГЭ 2014

2 1. Диагональ куба равна Найдите его объем 2 Ответ: 8 Решение Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует, что если диагональ куба равна, то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

3 2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба. Ответ: 2 Решение Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x 2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1) 2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+1) 2 = 6x , решая которое, находим x = 2 3

4 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда 4 Ответ: 1,5 Решение Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60 о, равна. Высота, опущенная на эту грань, равна. Объем параллелепипеда равен 1,5

5 4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы Ответ: 8 Решение Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8 5

6 5. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? Ответ: 8 Решение Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k, то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3. Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз 6

7 6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Ответ: 360 Решение Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна

8 7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ: 22 Решение Поверхность многогранника состоит из двух квадратов, площадь которых равна 4, четырех прямоугольников, площадь которых равна 2, и двух невыпуклых шестиугольников, площадь которых равна 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22 8

9 8. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпенди- кулярно плоскости основа- ния и равно 3. Ответ: 27 Решение Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27 9

10 9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ: 3 Решение Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3. Следовательно, объем детали равен 3 дм 3 10

11 10. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей 11 Ответ: 10 Решение Площади поверхностей данных шаров равны и. Их сумма равна. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

12 11. Прямоугольный паралле- лепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем паралле- лепипеда Ответ: 32 Решение Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32 12

13 12. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на π Ответ: 36 Решение Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36π, а объем, деленный на π, равен 36 13

14 13. В конус, радиус основания которого равен 2, вписан шар радиуса 1. Найдите объем конуса. Ответ: Решение Треугольники ABC и AOD подобны. Следовательно, Пусть AO = x, тогда BC = 2, AC = 1+x, OD = 1, AD =,, АС =, значит объем конуса равен 14

15 14. В сферу радиуса 5 вписан конус, высота которого равна 8. Найдите объем конуса Ответ: Решение Пусть O – центр сферы, PQ – радиус основания конуса. В прямоугольном ΔOPQ имеем: OQ = 5, OP = 3. Следовательно, PQ = 4. Объем конуса равен 15

16 15. Два противоположных ребра тетраэдра образуют угол 60 о и равны 2. Расстояние между ними равно 3. Найдите объем тетраэдра Ответ: Решение Пусть угол между AD и BC равен 60 о. Проведем общий перпендикуляр EG. Площадь Δ ADE равна 3. Угол между прямой BC и плоскостью ADE равен 60 о. Объем пирамиды равен 16

17 16. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30 о. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: см 3 Решение Площадь основания пирамиды равна 120 см 2. Сторона основания равна 13 см. Высота ромба равна см. Высота пирамиды равна см. Следовательно, объем пирамиды равен см 3 17

18 17. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды. Ответ: 6 Решение Треугольник SAD равносторонний со стороной, AB = GH = Площадь прямоугольника ABCD равна 6. Следовательно, объем пирамиды равен 6 18

19 18. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы. Ответ: Решение Сторона основания призмы равна. Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен 19

20 19. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 см, а расстояния между ними равны 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы. Ответ: 3060 см 3. Решение Проведем сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Используя формулу Герона найдем площадь сечения. Она равна 204 см 2. Объем призмы равен 3060 см 3. 20