Невозможные фигуры И многогранники многогранники исследовать вопрос, почему некоторые объекты, изображенные на бумаге кажутся человеку невозможными человеку, изучить классификацию этих объектов исследовать возможность создания невозможных фигур в среде твердотельного 3D моделирования САПР «КОМПАС» создать в этой среде невозможные фигуры всех типов применить САПР «КОМПАС» для создания моделей сложных многогранников Цель работы:

Невозможная фигура один из видов оптических иллюзий, представляющий объект, нарисованный на бумаге, кажущийся на первый взгляд проекцией обычного трехмерного объекта, но при внимательном рассмотрении становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создается эффект, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. На самом деле, все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трехмерных объектов, следовательно, можно создать такой трехмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. Соответственно, при обзоре такого объекта с определенного угла обзора, он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться. Невозможные конструкции известны с давних времен. Они встречаются в иконах со средних веков. Мадонна с младенцем На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. Мы, к сожалению, никогда не узнаем, был ли этот прием сознательным поступком художника или же его ошибкой.

Кольца Борромео - одна из известных невозможных фигур, имеющая древнюю историю. Эта фигура основана на симметричной расстановке перекрывающих друг друга колец. Предполагая, что все кольца плоские, такая фигура не может существовать в нашем мире. Для создания фигуры в трехмерном пространстве необходимы разрывы или искажения. Название кольца Борромео происходит от фамилии аристократической итальянской семьи Борромео. Семья Борромео владеет на севере Италии тремя островами на озере Маджоре. На Исола Белла находится впечатляющий дворец в стиле барокко, построенный в семнадцатом веке Витальяно Борромео (Vitaliano Borromeo) ( ). В самом дворце и в саду можно встретить много примеров знаменитой эмблемы дома Борромео. Кольца Барромео Варианты пересечения колец Однако, на территории дворца можно встретить несколько вариантов фигуры с различными пересечениями колец. На фотографиях ниже Вы можете видеть эти варианты. Входной билет (a) Цветочный горшок (a) Цветочный горшок (с) Ворота (c)

Святая троица Кольца Борромео часто служат символом единства. В христианстве он иногда используется для обозначения Святой Троицы. Символ Святой Троицы из манускрипта 13 века Змеи, полумесяцы, серпы Подобно кольцам Борромео соединялись и другие изогнутые объекты таким же способом. Например, в геральдике часто применялись символы змей, полумесяцев и серпов. Символ с объединением полумесяцев был разработан архитектором Филибертом де л'Орме (Philibert de l'Orme) для Дианы де Пуатье (Diane de Poitiers) ( ) - фаворитки французского короля Генриха II, чьей эмблемой был полумесяц. Полумесяцы Дианы де Пуатье Змеи на гербе. Изображение из кафедрального собора в Бангоре Серпы из крепости Фарлейх Хангерфолд Японские геральдические символы примечательны своим многообразием, изобретательностью и элегантность. В изображениях ниже можно заметить и аистов, и бамбук и многоугольники и тома (символ в виде запятой).

Логотипы В наши дни кольца Борромео можно встретить в различных логотипах. Наиболее известным является логотип пива Баллантайнс (Ballantine). В Северной Америке кольца Борромео известный под названием кольца Баллантайна по названию фирмы из Нью-Джерси Brewing company P. Ballantine and Sons, занимающегося производством пива. Химия Кольца Борромео можно встретить в такой неожиданной области науки, как химия. Ученые создают полимеры, молекулы которых соединены в виде колец Борромео, а также узлы из молекул ДНК. Но, наверное, самая маленькая структура Борромео была создана из молекулярных колец. Логотип Фестиваля афро- американской литературы и искусства Символ торговой марки завода по производству оружия

Различают 4 типа невозможных объектов: «Трибар», «Бесконечная лестница», «Космическая вилка», «Сумасшедший ящик». Треугольник Пенроуза Треугольник Пенроуза одна из основных невозможных фигур, известный также под названиями невозможный треугольник и трибар, был впервые открыт 1938 году шведским художником Оскаром Реутерсвардом, который изобразил его в виде набора кубиков. В 1980 году этот вариант невозможного треугольника был напечатан на шведских почтовых марках. Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом. В этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме в виде трех балок, соединенных друг с другом под прямыми углами. Скульптура невозможного треугольника, в центре бельгийской деревни Опховен (Ophoven), где живет в настоящее время художник и математик Матье Хемакерзом (Mathieu Hemaekers). Ниже представлена фотография скульптуры с другой точки обзора.

Под влиянием этой статьи в 1961 голландский художник М.К. Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад». Водопад «Водопад» литография голландского художника Эшера. Впервые была напечатана в октябре 1961 года. В этой работе Эшера изображен парадокс падающая вода водопада, управляет колесом, которое направляет воду на вершину водопада. Невозможная лестница Невозможная лестница - одна из базовых невозможных фигур. Ее еще иногда называют бесконечной лестницей. Если бы кто-то захотел бы подняться или спуститься по ней, то, пройдя четыре лестничных пролета, он оказался бы в той же самой точке, откуда начал свой путь. Такую прогулку по лестнице можно продолжать до бесконечности, так и не сдвинувшись с начальной точки. Модель невозможной лестницы разработал английский биолог Лайонел Пенроуз (Lionel Penrose) со своим сыном - известным математиком Роджером Пенроузом (Roger Penrose). Рассмотрим более подробно невозможную лестницу (см. рис. ниже). Если двигаться по лестнице по часовой стрелке, то мы будем постоянно подниматься, а если будем двигаться против часовой стрелки, то – спускаться. Хотя может показаться, что такая конструкция невозможна в реальном мире, на самом деле (как и многие из невозможных фигур) невозможную лестницу можно представить в виде реальной модели. Секрет здесь кроется в том, что в реальной модели невозможной лестницы должен быть разрыв в районе правого угла (на рисунке), которого в данном случае не видно, так как точка обзора выбрана намеренно, чтобы скрыть этот разрыв.

Невозможный трезубец Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможным трезубец. Если закрыть рукой верхнюю часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину - три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину - два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных. Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект – плоские грани верхней части трезубца становятся круглыми в нижней. Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в верхней и нижней части рисунка, из-за возникает ощущение невозможности фигуры. За колоннами расположено полупроницаемое (half-permeable) зеркало с отражающим слоем, расположенным спереди, то есть зритель не видит то, что находится за зеркалом, а видит в нем только отражение колонн. Изображение в зеркале меняется, когда включаются источники света, расположенные за зеркалом. Тогда зрителю становятся видны две квадратные колонны и поперечная балка, находящиеся за зеркалом и освещаемые только в верхней части. В Институте Глазной Оптики в городе Аахен (Германия) смогли решить эту задачу, создав специальную установку. Конструкция состоит из двух частей. В передней части расположены три круглые колонны и строитель. Эта часть освещается только внизу

Зритель должен смотреть только в зеркало и не видеть три круглые колонны, которые находятся перед зеркалом, а только их отражения. Хотя обе части модели находятся симметрично относительно зеркала, колонны расставлены специальным образом, чтобы в отражении в зеркале их контуры совпали. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с "Сумасшедшим ящиком", в результате чего эта фигура вошла в классическую "Большую Четверку" вместе с "Невозможным треугольником", "Бесконечной лестницей" и "Космической вилкой". Первоначально автор назвал ее "Свободным ящиком" и заявил, что она была "сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве". Многие также замечали, что ящик вполне подходит для помещения в него разных штуковин и других неопознанных объектов. "Сумасшедший ящик" – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко, но какого- либо последовательного решения нет. Как и многие другие невозможные объекты, "Сумасшедший ящик" основан на неправильных соединениях, допущенных при рисовании. Сумасшедший ящик

Примеры Невозможных Фигур Зигзаг Треугольник Пенроуза Окно Окно Окно Окно Неправильный Квадрат Пирамида Сумасшедший ящик Лесенка Кубики

Тетраэдр Хотя тетраэдр имеет всего четыре грани, каждая из которых представлена в виде правильных треугольников, вычерчивание его трехмерной проекции непростая задача. Куб Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон ( до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/ /211 до н.э) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников.Многогранники Простейший способ построения тетраэдра заключается в использовании куба в качестве вспомогательного тела. Сначала вычерчивается куб, выбираются нужные грани, проводятся диагонали, а затем лишние линии куба стираются. При желании куб можно поворачивать на требуемый угол. Октаэдр Как видно, две вершины октаэдра расположены по обе стороны квадрата. Предположим, что стороны квадрата имеют единичную длину. Точка 7 расположена в центре квадрата и также является центром октаэдра, а точка 8 находится посередине ребра 4-1. Поскольку точка 5 лежит на перпендикуляре в точке 7, то все, что нам надо знать, это расстояние h между этими двумя точками. Здесь можно использовать тот факт, что все вершины правильного многоугольника находятся на одинаковом расстоянии от центра. Следовательно, треугольник является равнобедренным треугольником. Следовательно, весь октаэдр состоит из последовательности равнобедренных треугольников.

Эта фигура имеет 12 граней, 30 ребер, 20 вершин. Каждая из 12 граней является правильным пентагоном (пятиугольником). Додекаэдр вполне вписывается в куб, и это его свойство можно использовать для конструирования. Додекаэдр Икосаэдр Смещенная плоскость Плоскость через 3 вершины Плоскость под углом к другой плоскости

Таким образом в результате проведенной работы мы показали, что создание невозможных фигур в среде твердотельного 3D моделирования САПР «КОМПАС» возможно Образцы созданных фигур можно использовать как творческие задания при проведении олимпиад по информатике и черчению, модели многоугольников могут использоваться на уроках стереометрии