Предел числовой последовательности. 24.07.2015. Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся.

Презентация:

Advertisements

Похожие презентации

Содержание Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей.

Advertisements

П р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т и. Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены точками на координатной.

Предел последовательности и предел функции. Предел последовательности Рассмотрим две числовые последовательности (у n ) и (х n ) и изобразим их члены.

Определение. Функцию y=f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y 1, y 2, …, y n,

Предел последовательности. План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности сверху, снизу,

Предел последовательности. План конспекта Определение последовательности Способы задания последовательностей Ограниченные последовательности: ограниченные.

Предел последовательности подготовила ученица 10 «а» класса Кяйхидис Елизавета учитель:Мисикова Ф.М.

10 класс Определение 1. Функцию вида у = f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n) или.

МБОУ СОШ 20 пос. Зеленый Ногинского района Московской области Симонова Лариса Алексеевна, учитель математики Предел последовательности Алгебра и начала.

Предел последовательности и функции. Цели: Сформировать понятие предела последовательности, функции; Ввести понятие сходящихся и расходящихся последовательностей,

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Лекция. Понятие сходящейся последовательности ( у n ): 1,3,5,7,9,…,(2n-1),... Расходится Нет точки сгущения Нет предела ( х.

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность.

С в о й с т в а ч и с л о в ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й.

Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности,

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 10 класс а) 1, 2, 3,…,n,…. б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…, (-1) n+1 /n в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,… Любое число в совокупности.

Лапкарева Елена Геннадьевна. 1.Продолжите цепочку чисел: 1) 2, 5, 11, 23, 47,… 2) 1, 1, 2, 3, 5, … 3) 12, 31, 24, 12, 51,… 2. Определите арифметическое.

Введение в теорию пределов. Последовательность Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко.

Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.

Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.

Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть.

Транксрипт:

Предел числовой последовательности

Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут: или Определение предела последовательности.

Возьмём интервал (br 1 ;b+r 1 ), т. е., окрестность точки b; r 1 радиус этой окрестности (r 1 >0). Существует номер n 1 начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: y n1 (br 1 ;b+r 1 ),y n1 +1 (br 1 ;b+r 1 ), y n1 +2 (br 1 ;b+r 1 ) и т.д. Окрестностью точки b радиуса r 1 является интервал (br 1 ;b+r 1 ), (r 1 >0).

Дана последовательность (y n ): Доказать, что Решение. Возмём любую окрестность точки 0, пусть её радиус равен r. Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n 0, так чтобы выполнялось неравенство 1/n 0 <r. Если, r=0,001, то в качестве n 0 можно взять 1001, поскольку 1/1001<0,001, и т.д. Это значит, что член последовательности (y n ) с номером n 0, т.е. y n0, попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности y n =1/n. В соответствии с определением это и означает, что.

Построим график последовательности y n =1/n, который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4,..., лежащих на ветви гиперболы y=1/x. Так как, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика функции y=1/x, x N.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса) Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса) Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. Свойства сходящихся последовательностей

Классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т. д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади кругаS=πr^2.

Рассмотрим последовательность: – гармонический ряд Если q< 1, то Если q> 1, то последовательность у n = q n расходится Если m N, k R, то

Свойства пределов Если,, то 3. предел частного равен частному пределов: 2. предел произведения равен произведению пределов: 1. предел суммы равен сумме пределов: 4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Примеры: