Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск Алгебра и начала анализа, 10 класс. Решение простейших тригонометрических неравенств. 0

Под простейшими тригонометрическими неравенствами понимают неравенства вида:,где t – выражение с переменной, a. Под знаком следует понимать любой из четырёх знаков неравенств:,,.

Для решения тригонометрических неравенств необходимо уметь работать с тригонометрическим кругом: sint cost t x y sint - ордината точки поворотаcost - абсцисса точки поворота (под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на t радиан от начала отсчета»)

x y –1–1 –1–1 a 1 a –1 Аналогично, неравенство sin t<a, при a –1 также не имеет решений. Неравенство sin t > a, при a 1 не имеет решений. На окружности не существует точек поворота, ординаты которых больше единицы. На окружности не существует точек поворота, ординаты которых меньше минус единицы.

x y –1–1 –1–1 a 1 a –1 Если знак неравенства нестрогий, то неравенство sin t a, при a 1 выполняется, при Аналогично, неравенство sin t a, при a –1 будет верное, если

x y t =arcsin a t = –arcsin a a –1–1 –1–1 2 Если a (–1;1), то неравенство sin t a выполняется либо на дуге (>, ), A D B C либо на дуге (<, ). Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства Дугу CBA можно записать в виде промежутка [(arcsin a +2 n ; –arcsin a +2 n )], n, а дугу ADC – в виде промежутка [( –arcsin a +2 k ; arcsin a k )], k,

Пример. Решите неравенство sin ( 2x–3 )>– 0,5. x y –1–1 –1–1 Решение. Выполняем рисунок: или Ответ:

x y –1–1 –1–1 a –1 a 1 Для неравенство cos t>a, при a 1 и cos t < a, при a –1 проведите рассуждения самостоятельно (под руководством учителя). t Ø

x y –1–1 –1–1 a 1 a –1 Если знак неравенства нестрогий, то неравенство cos t a, при a 1 выполняется, при Аналогично, неравенство cos t a, при a –1 будет верное, если

x y –1–1 –1–1 2 Если a (–1;1), то неравенство cos t a выполняется либо на дуге (>, ), A D B C либо на дуге (<, ). В первом случае Во втором, Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства 0 t =arccos a t = –arccos a a

Пример. Решите неравенство. x y –1–1 –1–1 Решение. Выполняем рисунок: или Ответ:

x y –1–10 линия тангенсов a Так как E ( tg )=, то неравенство tgt a всегда имеет решение. –1–1 Значению tgt= a соответствуют числа t (величины углов поворота в радианной мере), попадающие в две точки тригонометрического круга. t =arctg a+π t =arctg a Для неравенств tgt > a или tgt a получаем две дуги. Обе они могут быть записаны в виде промежутка: Для неравенств tgt < a или tgt a получаем две дуги. 0 Обе они могут быть записаны в виде промежутка: Выбор скобок в записи ответа зависит от знака неравенства

t =arcctg a+π x y –1–1 0 линия котангенсов a –1–1 Проследите за ходом решения и выведите общие формулы для неравенств: Так как E ( tg )=, то неравенство сtgt a всегда имеет решение. 0 ctg t > a ctg t a ctg t < a ctg t a t =arcctg a

Пример. Решите неравенство x y –1–10 линия тангенсов –1–1 0 Решение. Применив к левой части неравенства формулу тангенса разности, получим равносильное неравенство: Выполняем рисунок. Получаем: Ответ: