Элективный курс «Основные вопросы теории вероятностей и математической статистики»

МОУ « Кинделинская средняя общеобразовательная школа» ПРОЕКТ Основные понятия теории вероятностей и математической статистики. Руководитель проекта: Черненко А.А. Участники проекта: Федулова Н, Власова Ю; Ученицы 9 «б» класса.

Теория и практика Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали. Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали.

Теория и практика Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала "орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что она "неправильная", возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала "орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что она "неправильная", возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести

Актуальность проекта. Математическая статистика и теория вероятностей – науки, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в обществе. Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление товаров, перевозку грузов и пассажиров, природные ресурсы. Методы теории вероятностей широко используются на практике.

Поле смысложизненных ориентиров теории вероятностей и статистики: Экономика Математика Биология География История Технология Информатика Спорт

Матрица проекта Над проектом работали Автор проекта Власова Ю, Федулова Надежда руководитель Черненко А.А. название школы МОУ «Кинделинская средняя школа» Описание проекта Название темы проекта Основные понятия и занимательные задачи теории вероятностей. Цели – на основе анализа математической и методической литературы изучить основы теории вероятностей и математической статистики; формирование умений составлять и решать задачи на применение статистических понятий; рассмотреть занимательные задачи. Задачи – сбор информации; разработка методического пособия для учащихся 7-9 классов «Основы теории вероятностей и математической статистики»

Приблизительная продолжительность проекта Проект рассчитан на 3 недели: Этапы реализации проекта. 1. Сбор и систематизация информации по теме. 2. Подготовка вопросов к руководителю. 3. Оформление результатов работы. 4. Отчет о проделанной работе. Презентация проекта. Ожидаемые результаты Внешним проектом проекта станут созданные материалы: пособие, презентации на электронном носителе. Внутренний продукт проекта: формирование умения использовать различные источники информации; умения работать с компьютером; использовать в своей работе ресурсы Интернета; умения решать задачи по теории вероятностей и математической статистики.

Основополагающий вопрос Что изучает теория вероятностей и какие она решает задачи? Материалы и ресурсы, необходимые для проекта оборудование компьютер принтер сканер Материалы на печатной основе 1.Афанасьев, В.В. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей : для учащихся 8-11 классов / В.В. Афанасьев, М.А. Суворова. – Ярославль: Академия развития, – 192 с. 2.Вентцель, Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – М.: Высшая школа, – 445 с. 3.Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях Элементы теории вероятностей в курсе сред. школы : пособие для учителя/ М. Глеман, Т. Варга. – М.: Просвещение, – 176 с. 4.Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики / 5.В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, – 400 с. Интернет-ресурсы html

Пособие для учащихся Составители: Федулова Н, Власова Ю.; Руководитель : Черненко А.А. c. Кинделя 2011 год «Основы теории вероятностей и математической статистики» Для тех, кто хочет знать больше!

Содержание Предисловие Часть 1. История возникновения и развития теории вероятностей. Часть 2. Основные понятия теории вероятностей. 2.1Относительная частота случайного события. 2.2 События и испытания Часть 3. Занимательные задачи теории вероятностей «Легкомысленный член жюри» 3.2. «Странное метро» 3.3. « Нетерпеливые дуэлянты» 3.4. « Трехсторонняя дуэль» 3.5. «Выбор наибольшего приданого» Часть 4. Описательная статистика 4.1 Среднее арифметическое чисел 4.2. Размах 4.3. Мода 4.4. Медиана Часть 5. Статистический практикум Ответы к задачам. Список литературы.

Предисловие. В повседневной жизни, в практической и научной деятельности часто наблюдают те или иные явления, проводят определённые эксперименты. Люди играют с кубиком, в «орла или решку», во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Изучение теории вероятностей и статистики в школьный курс было введено недавно, и в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Это пособие является дополнительным к учебникам алгебры для учащихся 7-9- х классов. В него включены основные понятия теории вероятностей и статистики,задачи на применение этих понятий. Что бы от работы с пособием получить больше удовольствия в данном пособие предложены история возникновения этой науки и пять занимательных задач по теории вероятностей. Для решения, которых требуется лишь здравый смысл, но, тем не менее, каждое решение сопровождается строгими, логическими рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы в неопровержимые факты. Пособие, может быть, использовано учащимися 7-9-х классов и учителем на уроках математики, информатики, а так же на занятиях кружка.

Вечные истины Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Случайные события Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными

Случай имеет свои законы ! Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Случайность и здравый смысл «Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению» Лаплас Лаплас

В настоящее время Теория вероятностей имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией, тригонометрией и т.д. геометрией, тригонометрией и т.д. Этот раздел математики уже входит в школьные учебники и включен в программу экзамена. А начиналось все весьма своеобразно…

Азартные игры Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков давали азартные игры

У истоков науки В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н.э.

Закономерности в случайных событиях Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако первые вычисления появились только в X- XI веках.

Знаменитая задача Одна из самых знаменитых задач, способствовавших развитию теории вероятностей, была задача о разделе ставки, помещенная в книге Луки Паччиоли (1445- ок.1514). Книга называлась «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношении и пропорции» и была опубликована в Венеции в 1494 году. Задача Паччиоли

Двое играют в некоторую игру, где шансы на победу у каждого игрока одинаковы. Игроки договорились играть до 6 побед, но игра остановилась, когда у одного было 5 побед, а у другого – 3. Как следует разделить приз? (Сам Паччиоли считал, что приз надо делить пропорционально количеству выигранных партий. Однако правильный ответ не так прост.)

Новые имена Следующим человеком, который внес значительный вклад в осмысление законов, управляющих случаем, был Галилео Галилей ( ). Именно он заметил, что результаты измерений носят случайный характер. Результаты физических экспериментов нуждаются в поправках, основанных на теории вероятностей.

Новые имена Важный этап в развитии теории вероятностей связан с именами французских математиков Блеза Паскаля ( ) и Пьера Ферма ( ). В ответах этих ученых на запросы азартных игроков и переписке между собой были введены основные понятия этой теории – вероятность события и математическое ожидание Задача кавалера де Мере

При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? Эта одна из тех задач, с которыми кавалер де Мере обратился к Б.Паскалю в надежде узнать выигрышную стратегию. Решение задачи кавалера де Мере

При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? На каждой из четырех костей может выпасть любое из шести чисел, независимо друг от друга. Всего вариантов = 1296 Количество вариантов без шестерки будет, соответственно, = 625 В остальных 1296 – 625 = 671 вариантах шестерка выпадет хотя бы один раз. Значит, появление шестерки хотя бы один раз при четырех бросаниях происходит чаще, чем ее непоявление.

На пути становления науки Выдающийся голландский математик, механик, астроном и изобретатель Х.Гюйгенс ( ) под влиянием переписки Паскаля и Ферма заинтересовался задачами вероятностного характера, результатом чего явилась работа «О расчетах в азартных играх». Трактат Гюйгенса выдержал несколько изданий и был единственной книгой по теории вероятностей в XVII веке.

На пути становления науки Но как математическая наука теории вероятностей начинается с работы выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли ( ) «Искусство предположений». В этом трактате доказано ряд теорем, в том числе и самая известная теорема «Закон больших чисел»

На пути становления науки Развитие естествознания и техники точных измерений, военного дела и связанной с ней теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей Развитие естествознания и техники точных измерений, военного дела и связанной с ней теории стрельбы, учение о молекулах в кинетической теории газов ставило перед учеными конца XVIII века все новые и новые задачи теории вероятностей

История продолжается Крупнейшими представителями теории вероятностей как науки были математики Крупнейшими представителями теории вероятностей как науки были математики П.Лаплас ( ) П.Лаплас ( ) К. Гаусс ( ) К. Гаусс ( ) С. Пуассон ( ) С. Пуассон ( )

Русский период в развитии теории вероятностей Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй половине XIX и XX вв. Здесь фундаментальные открытия были сделаны математиками Петербургской школы П.Л.Чебышёвым ( ), А.М.Ляпуновым ( ), А.А.Марковым ( ). П.Л.Чебышёвым ( ), А.М.Ляпуновым ( ), А.А.Марковым ( ).

Недалекое прошлое Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано, в первую очередь, с именами математиков в XX в. и связано, в первую очередь, с именами математиков С.Н.Бернштейна, А.Н.Колмогорова Б.П.Гнеденко, Ю.В.Линника

С.Н.Бернштейн ( ) Вклад в развитие теории вероятностей вероятностей В 1917 году разработал самую первую по времени аксиоматику теории вероятностей. В 1917 году разработал самую первую по времени аксиоматику теории вероятностей.

А.Н.Колмогоров ( ) Вклад в развитие теории Вклад в развитие теории вероятностей вероятностей Положил начало общей теории случайных процессов. Положил начало общей теории случайных процессов. В 1933 году разработал аксиоматику, которая в настоящее время является общепринятой. В 1933 году разработал аксиоматику, которая в настоящее время является общепринятой.

А.Я. Хинчин ( ) Вклад в развитие теории вероятностей вероятностей Положил начало общей теории случайных процессов. Положил начало общей теории случайных процессов. Разработал свою аксиоматику теории вероятностей. Разработал свою аксиоматику теории вероятностей.

Б.П.Гнеденко ( ) Вклад в развитие теории вероятностей вероятностей В начале июня 1941 года защитил докторскую диссертацию "Предельные теоремы для независимых случайных величин" С 1960 года работает профессором кафедры теории вероятностей механико- математического факультета МГУ. С 1966 года он назначается заведующим этой кафедрой и руководит ею до последних дней своей жизни.

Ю.В.Линник ( ) Вклад в развитие теории вероятностей вероятностей Основные труды по теории чисел, теории вероятности и математической статистики. Основные труды по теории чисел, теории вероятности и математической статистики.

События и испытания Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием Каждое осуществление этих условий называют испытанием Примеры

Примеры испытаний и событий Испытание – бросание игральной кости Испытание – бросание игральной кости Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков Испытание – взвешивание тела на аналитических весах Испытание – взвешивание тела на аналитических весах Событие – ошибка измерения не превзойдет заранее заданного числа Событие – ошибка измерения не превзойдет заранее заданного числа

Вероятность случайного события Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом. Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом. Это число называется вероятностью случайного события. вероятностью случайного события. Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события

Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведённых экспериментов.

Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала «орлом» вверх, то вы можете быть уверены, что она «неправильная», возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести. Вот таблица результатов 100 экспериментов по подбрасывании монеты полученные девятиклассниками. Событие Всего «Орёл»44 «Решка»56 Значит частота выпадения «орёл» равна 44:100=0,44, а частота выпадения «решка» равна 56:100=0,56.

События могут быть Достоверные Невозможные Случайные Несовместные Независимые Противоположные

Достоверные события Событие называется достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании. Событие называется достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Примеры достоверных событий Примеры достоверных событий

Примеры достоверных событий 1. На игральном кубике выпадет меньше семи очков; 2. После лета наступит осень.

Невозможные события Событие называют невозможным, если оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0. Событие называют невозможным, если оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0. Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность невозможного события равна 0. Примеры невозможных событий Примеры невозможных событий

Примеры невозможных событий 1. Падение монеты на ребро 2. Выпадение на игральной кости семерки

Случайные события Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Примеры случайных событий Примеры случайных событий

Примеры случайных событий 1. Выпадение на игральном кубике четного числа очков; 2. Выпадение орла при бросании монеты; 3. Выигрышное сочетание чисел на карточках русского лото.

Несовместные события События A и B называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, или, на языке множеств, A B =. События A и B называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, или, на языке множеств, A B =. Примеры несовместных событий Примеры несовместных событий

Примеры несовместных событий 1. При бросании двух кубиков выпадение нечетной суммы очков и равных чисел на обоих кубиках; 2. Из короба с разноцветными шарами вытащить 2 шара. Несовместными будут события: оба шара красные и оба шара синие.

Независимые события События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A) P(B). События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A) P(B). Примеры независимых событий Примеры независимых событий

Примеры независимых событий 1. На обоих кубах выпадет шестерка; 2. При подбрасывании двух монет выпадут два орла; 3. При вытаскивании двух шаров из урны оба шара будут красными.

Противоположные события С каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется. С каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется. Противоположные события, очевидно, несовместны. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1 Примеры противоположных событий Примеры противоположных событий

Примеры противоположных событий 1. На кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число; 2. Монета упала орлом вверх и монета упала вверх решкой; 3. Лампа горит и лампа не горит.

Для решения вероятностных задач необходим здравый смысл и строгая логика рассуждений, подтвержденная точными расчетами

В данной части предложены пять задач по «Теории вероятности», для решения которых требуется лишь здравый смысл, но тем не менее каждое решение сопровождается строгими логическими рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы в неопровержимые факты. В данной части предложены пять задач по «Теории вероятности», для решения которых требуется лишь здравый смысл, но тем не менее каждое решение сопровождается строгими логическими рассуждениями и арифметическими вычислениями, превращающими гипотезы в неопровержимые факты.

Содержание Легкомысленный член жюри Легкомысленный член жюри Странное метро Странное метро Нетерпеливые дуэлянты Нетерпеливые дуэлянты Трехсторонняя дуэль Трехсторонняя дуэль Выбор наибольшего приданного Выбор наибольшего приданного

Легкомысленный член жюри В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для внесения решения бросает монету (окончательное решение выноситься большинством голосов). Жюри из одного человека выносит правильное решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит правильное решение? В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для внесения решения бросает монету (окончательное решение выноситься большинством голосов). Жюри из одного человека выносит правильное решение с вероятностью p. Какое из этих жюри выносит правильное решение? Решение

Решение задачи « Легкомысленный член жюри » Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, если два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью рр, то результат голосования третьего члена жюри уже не важен. Если же судьи будут расходиться во мнениях, вероятность чего равна р(1-р)+(1-р)р= 2 р(1-р), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Если же судьи будут расходиться во мнениях, вероятность чего равна р(1-р)+(1-р)р= 2 р(1-р), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна рр+р(1-р)=р, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.

Странное метро Виктор кончает работу во время между 15 и 17 часами. Его мать и невеста живут в противоположных частях города. Виктор садиться в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направление, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Виктора жалуется на то. что он редко у нее бывает. Но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесткой равны. Он обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление. Виктор кончает работу во время между 15 и 17 часами. Его мать и невеста живут в противоположных частях города. Виктор садиться в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направление, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Виктора жалуется на то. что он редко у нее бывает. Но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невесткой равны. Он обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней. Объясните это явление. Решение

Решение задачи « Странное метро » Возможен такой вариант. Возможен такой вариант. Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Виктор, например, в 3.00, 3.10, 3.20 и т.д. Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Виктор, например, в 3.00, 3.10, 3.20 и т.д. А поезда в противоположном направлении в 3.01, 3.11, 3.21 и т.д. А поезда в противоположном направлении в 3.01, 3.11, 3.21 и т.д. Чтобы поехать к матери, Виктор должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов, а интервал ожидания поезда к невесте равен 19 минутам.

Нетерпеливые дуэлянты Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком. Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком. Решение

Решение задачи « Нетерпеливые дуэлянты » Пусть х и у обозначают время прибытия первого и второго дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа, начиная с 5 часов. Заштрихованная площадь квадрата соответствует случаю, когда дуэлянты встречаются. Вероятность того, что они не встретятся, равна 2 ( ½ 11/12 11/12) = 121/144. Так что шансы на поединок равны /144 = 23/144 = 0,16

Трехсторонняя дуэль А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С-0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А? А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С-0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А? Решение

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » Чаще всего предлагается следующая стратегия: Чаще всего предлагается следующая стратегия: Поскольку В стреляет без промаха, то А очевидно должен стрелять именно в него. Даже если А промахнется, то В выберет своей жертвой более сильного противника, и у А будет возможность выстрелить в него еще раз. Поскольку В стреляет без промаха, то А очевидно должен стрелять именно в него. Даже если А промахнется, то В выберет своей жертвой более сильного противника, и у А будет возможность выстрелить в него еще раз. Почему эта стратегия не самая лучшая ?

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » ( продолжение ) Подсчитаем вероятность А остаться в живых при предложенной стратегии: Подсчитаем вероятность А остаться в живых при предложенной стратегии: Если А не попадает в В, то В наверняка выведет из строя наиболее опасного для него соперника С. С вероятностью 0,3 дуэлянт А попадет в В. Если же А промахнется и в этот раз, то его песенка спета, ведь В стреляет без промаха. Если А не попадает в В, то В наверняка выведет из строя наиболее опасного для него соперника С. С вероятностью 0,3 дуэлянт А попадет в В. Если же А промахнется и в этот раз, то его песенка спета, ведь В стреляет без промаха. Если А попадает в В с первого выстрела, то ему придется перестреливаться с С до первого попадания. Если А попадает в В с первого выстрела, то ему придется перестреливаться с С до первого попадания. Шансы выигрыша у А равны Шансы выигрыша у А равны 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….=3/13<0,3 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….=3/13<0,3 Получается, что при первом выстреле лучше не попасть, чем попасть. Получается, что при первом выстреле лучше не попасть, чем попасть. Дуэлянту А при первом выстреле следует стрелять в воздух Вычисления

Решение задачи « Трехсторонняя дуэль » ( вычисления ) 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….= ? 0,5 0,3 + 0,50,70,50,3 + 0,50,70,50,70,50,3+….= ? Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где b 1 =0,50,3 = 0,15 ; q = 0,5 0,7 = 0,35 b 1 =0,50,3 = 0,15 ; q = 0,5 0,7 = 0,35 S=b 1 :(1-q)=0,15 : (1 – 0,35) = 15 : 65 = 3/13 S=b 1 :(1-q)=0,15 : (1 – 0,35) = 15 : 65 = 3/13

Выбор наибольшего приданого Король для испытания кандидата на роль Король для испытания кандидата на роль придворного мудреца предлагает ему придворного мудреца предлагает ему женитьбу на молодой придворной даме, женитьбу на молодой придворной даме, имеющей наибольшее приданое. Сумма имеющей наибольшее приданое. Сумма приданого записывается на билетиках и приданого записывается на билетиках и они перемешиваются. Наудачу вытягивается они перемешиваются. Наудачу вытягивается билетик и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает билетик и мудрец должен решить, является ли это приданое наибольшим. Если он выносит правильное решение, то получает эту леди в жены вместе с приданым, в противном эту леди в жены вместе с приданым, в противном случае - не получает ничего. При отказе от суммы, случае - не получает ничего. При отказе от суммы, указанной в первом билетике, мудрец должен указанной в первом билетике, мудрец должен вытянуть второй билет и отказаться или нет от него вытянуть второй билет и отказаться или нет от него и т.д., пока не сделает выбор или не отвергнет все и т.д., пока не сделает выбор или не отвергнет все приданые. При дворе короля всего несколько богатых и приданые. При дворе короля всего несколько богатых и привлекательных дам, все их приданые различны. Как привлекательных дам, все их приданые различны. Как должен действовать мудрец? должен действовать мудрец? Решение

Решение задачи « Выбор наибольшего приданого » Наиболее популярная стратегия для большого количества билетов Пропустить первую половину билетов и затем выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие, если таковая найдется. Пропустить первую половину билетов и затем выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие, если таковая найдется. Эта стратегия разумная, но не самая оптимальная. Эта стратегия разумная, но не самая оптимальная. Хочешь знать, почему? Хочешь знать, почему?

Чтобы найти выигрышную стратегию, надо 1. Проанализировать несколько частных случаев решения задачи 2. Выдвинуть гипотезу выигрышной стратегии 3. Обосновать правильность выигрышной стратегии. В данной задаче случай для четырех придворных дам уже опровергает гипотезу о необходимости пропустить половину билетов

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если придворных дам всего три, а величины их приданных записаны соответственно числами 1, 2, 3 Если придворных дам всего три, а величины их приданных записаны соответственно числами 1, 2, 3 ( чем больше номер, тем больше приданое) ( чем больше номер, тем больше приданое) Имеем шесть способов вытаскивания билетов: Имеем шесть способов вытаскивания билетов: Стратегия (пропустить первый билет и выбрать первое число, превосходящую все предыдущие) окажется выигрышной в трех из шести вариантов Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из трех Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из трех составляет 1/3 составляет 1/3 Вероятность получения наибольшего приданого при выбранной стратегии Вероятность получения наибольшего приданого при выбранной стратегии составляет 1/2 составляет 1/2 (пока стратегия действительно является выигрышной) Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 1 (пропустить один первый билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Выигрыш будет в одиннадцати из двадцати четырех вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 2 (пропустить первые два билета и выбрать первое число, превосходящее все предыдущие) Выигрыш будет в десяти из двадцати четырех вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Если бы придворных дам было четыре, то способов вытаскивания билетов будет уже двадцать четыре : Рассмотрим стратегию 3 (пропустить первые три билета, т.е. выбрать четвертую даму) Выигрыш будет в шести из двадцати четырех вариантов Стратегия равнозначна выбору дамы, чей билетик будет первым, или вторым, или третьим Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из четырех Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из четырех составляет 1/4 составляет 1/4 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). составляет 11/24 составляет 11/24 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 10/24 составляет 10/24 (значит, из четырех билетов пропустить следует только один) Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 1 (пропустить один первый билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Выигрыш будет в пятидесяти из ста двадцати вариантов Полезный совет Оптимальный вариант

Полезный совет Для удобства подсчета вариантов Для удобства подсчета вариантов мы расположили числа в порядке возрастания, распределив их по столбцам: мы расположили числа в порядке возрастания, распределив их по столбцам: сначала записали наименьшее возможное пятизначное число, составленной из пяти различных цифр, а затем начали увеличивать числа, переставляя данные цифры. а затем начали увеличивать числа, переставляя данные цифры. Перестановку начали, естественно, с младших разрядов. Такой порядок называется лексикографическим.

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Выигрыш будет в пятидесяти двух из ста двадцати вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Рассмотрим стратегию 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Выигрыш будет в сорока двух из ста двадцати вариантов Оптимальный вариант

Рассмотрим частные случаи решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Если бы придворных дам было пять, то способов вытаскивания билетов будет уже сто двадцать : Стратегия – случайный выбор дамы – дает выигрыш в двадцати четырех из ста двадцати вариантов (Независимо от того, на каком билете остановить свой выбор: первом, втором, третьем, четвертом или пятом) Оптимальный вариант

Некоторые полезные выводы « Выбор наибольшего приданого » Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из пяти Вероятность получения наибольшего приданого при случайном выборе одного билетика из пяти составляет 24/120 = 1/5 составляет 24/120 = 1/5 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 1 (пропустить один билет и выбрать первую сумму, превосходящую записанную на первом билете). составляет 50/120=5/12 составляет 50/120=5/12 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 2 (пропустить первые два билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 53/120 составляет 53/120 Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) Вероятность получения наибольшего приданого при стратегии 3 (пропустить первые три билета и выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие) составляет 42/120=7/20 составляет 42/120=7/20 (значит, из пяти билетов пропустить следует два) Полезный совет

Подсчитать варианты можно было без составления таблиц. без составления таблиц. Подсчитаем количество всех пятизначных чисел, Подсчитаем количество всех пятизначных чисел, составленных из заданных цифр (без повторений): на первом месте может стоять любая из пяти цифр – всего 5 вариантов, на втором – 4, на третьем – 3, на четвертом – 2, на пятом – 1. Всего = 120. Такое произведение называется «факториал». Количество перестановок из 5 цифр равно 5!=120 Количество перестановок из 5 цифр равно 5!=120 Количество перестановок из 4 цифр равно 4!=24 Количество перестановок из 4 цифр равно 4!=24 Количество перестановок из 3 цифр равно 3!=6 Количество перестановок из 3 цифр равно 3!=6 Количество перестановок из 2 цифр равно 2!=2 Количество перестановок из 2 цифр равно 2!=2

Для стратегии 1 выигрышными будут следующие варианты: если на первом месте стоит 4, то выигрышными будут все 24 варианта ( все другие цифры могут стоять в любом порядке, т.к. мы будем искать в билете цифру, большую четырех, а значит 5) если на первом месте стоит 3, то выигрышными будут сочетания, когда 4 следует за 5: поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифры 2 или 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 4 варианта) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифры 2 или 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 4 варианта) поставив 5 на четвертое место, пятое место займет 4 остальные две цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) поставив 5 на четвертое место, пятое место займет 4 остальные две цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) Оптимальный вариант

Для стратегии 1 выигрышными будут следующие варианты: если на первом месте стоит 2, то выигрышными будут сочетания, когда и 3, и 4 следуют за 5: поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на второе место, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке (всего 6 вариантов) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифра 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) поставив 5 на третье место, второе могут занять лишь цифра 1, остальные цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 2 варианта) если на первом месте стоит 1, то выигрышными будут сочетания, когда 5 стоит вслед за ней, остальные три цифры могут располагаться в произвольном порядке ( всего 6 вариантов) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: 24+(6+4+2)+(6+2)+6= Оптимальный вариант

Для стратегии 2 выигрышными будут следующие варианты: если на одном из двух первых мест стоит 4, то выигрышными будут все варианты, где 5 занимает одно из трех последних мест.(Для пятерки – 3, для четверки - 2 варианта, для остальных трех цифр – 6, всего 36 вариантов) если 4 стоит на четвертом месте, то 5 должна стоять на третьем, а остальные три цифры располагаются в произвольном порядке.(Для пятерки – 1 вариант, для остальных трех цифр – 6, всего 6 вариантов) если 4 стоит на пятом месте, то количество хороших вариантов будет равно 10 (см. стратегию 2 для четырех дам) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: = Оптимальный вариант

Для стратегии 3 выигрышными будут следующие варианты: если на одном из трех первых мест стоит 4, то выигрышными будут все варианты, где 5 занимает одно из двух последних мест.(Для пятерки – 2, для четверки - 3 варианта, для остальных трех цифр – 6, всего 36 вариантов) если 4 стоит на пятом месте, то 5 должна стоять на 4, а остальные три цифры в произвольном порядке на первых трех местах ( всего 6 вариантов) ВЫВОД о количестве выигрышных вариантов: 36 +6= Оптимальный вариант

Некоторые оптимальные варианты для решения задачи « Выбор наибольшего приданого » Если n – количество придворных дам, s – количество билетов, которые следует пропустить, s – количество билетов, которые следует пропустить, р – вероятность получения наибольшего приданного р – вероятность получения наибольшего приданного 210, , , , , , , ,371

Среднестатистические характеристики: Среднее арифметическое Среднее арифметическое Размах Размах Мода Мода Медиана Медиана

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Определение:

Пример 1. В таблице показан расход электроэнергии некоторой семьей в течении года: месяц IIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXXIXII Расход, к Втч Найдите средний ежемесячный расход электроэнергии этой семьей. ( ):12=6 3 Ответ: 63 к Втч

Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Определение:

Определение Модой ряда чисел называется число, чаще других встречающееся в данном ряду.

Пример 3. За день было продано в универмаге 22 пары женских туфель. Статист изучал размеры проданной обуви и получил такой ряд данных: 36, 35, 37, 36, 37, 38, 39, 37, 38, 36, 37, 38, 39, 39, 38, 37, 37, 37, 38, 35, 37, 37. Упорядочим данный ряд: Упорядочим данный ряд: 35,35, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 38, 39, 39, 39. Оказалось, что туфлей с размером 37 продали больше всего. Число 37 и есть мода данного ряда.

Определение: Медиана число, которое разделяет упорядоченный числовой набор на две одинаковые по численности части. Медиана число, которое разделяет упорядоченный числовой набор на две одинаковые по численности части.

Решаемая задача: В таблице показано рост учащихся Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану данного ряда. Фамилия РостФамилия Рост Бикеева Бражникова Власова Второва Компаниец Константинов Корнева Кильдяйкин Маратканова Стрехнёв Тельнов Федулова

Решение: 1. Среднее арифметическое данного ряда: ( ):12=164,75 ( ):12=164,75 2. Размах ряда: =20 3. Мода данного ряда: числа 165 и 167. числа 165 и Медиана ряда: 155;158;159;160;163;165;165;167;167;171;172;175.( ):2=165 Ответ: среднее арифметическое – 164,75, размах – 20, мода – 165,167.

Статистический практикум Задача 1 Найти среднее арифметическое, медиану, размах и моду следующих наборов чисел: а) 1,2, 3, 4, 5, 6,7; б) 1, 3, 5, 6, 8, 8, 9; Задача 2 Найти: а) медиану и моду числового набора 10, 11,11, 12, 13, 14, 14, 17; б) медиану вот такого числового набора 5, 4, 1, 9, 2, 8, 6, 7; Задача 3 Имеется 5 бочек с вином объёмом 40, 50, 60, 100, 70 литров соответственно. Насколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы.

Задача 4 Постройте круговую диаграмму результатов контрольной работы по математике. В классе 23 человека, на «5» написали 5 человек, на «4» - 9 человек, на «3» - 7 человек, остальные не справились с контрольной работой. Задача 5 В ходе наблюдения за изменением подъёма уровня воды в течение суток были выписаны значения нескольких замеров: 13, 19, 24, 17, 15, 13, 11. Определить медиану, моду и среднее арифметическое полученного набора чисел. Задача 6 В результате наблюдения за изменением температуры в течение суток были выписаны значения нескольких замеров: -5, -2, 0, 4, 1, -2, -6. Насколько медиана полученного набора чисел отличается от его моды?

Задача 7 Менеджер бассейна проводил в течение недели статистическое исследование о количестве посетителей бассейна за день. В результате исследований был получен следующий ряд данных: 55, 52, 60, 52, 80, 60, 54. Определите среднее арифметическое этого ряда. Задача 8 Задача 8 Записана численность населения пяти городов (в тыс. чел.): 1240, 860, 530, 2240, 700. Выясните, насколько среднее арифметическое этих чисел больше их медианы.

Задача 1: а) 4; 4;6;моды нет, б) 6;6;8;8 Задача 2: а) мода 11 и 14; медиана 12, б) медиана 5,5 Задача 3: на 4 Задача 5: медиана 15,мода 13,среднее арифметическое 16 Задача 5: медиана 15,мода 13,среднее арифметическое 16 Задача 6: на 0 Задача 7: 59 Задача 8: на 254

Изучать следует то, что необходимо для решения задач сегодня, а главное завтра.