Способы решения тригонометрических уравнений

Содержание I.Введение Введение II.Способы решения: 1) Замена переменной Замена переменной 2) Решение однородных уравнений Решение однородных уравнений 3) Разложение на множители Разложение на множители 4) Решение линейных уравнений а)введение вспомогательного угла б)сведение к однородному 5)Решение уравнений, содержащих высокие степени Решение уравнений, содержащих высокие степени 6)Решение уравнений, c ограниченным ОДЗРешение уравнений, c ограниченным ОДЗ III. Обучающая самостоятельная работа Обучающая самостоятельная работа

I. Введение перейти При решении тригонометрических уравнений, стараются привести уравнения к уравнению, содержащему одну функцию одного аргумента. Способы решения уравнений различны, однако, можно выделить основные типы уравнений и стандартные способы их решений. К оглавлениюК обучающей с/р

II.Способы решения К оглавлениюК обучающей с/р перейти Замена переменной 1 3 tg² x + tgx – 2 = 0 Пример: Решение: t = tg x 3t² + t – 2 = 0 D = 1+4*2*3=25 t = 2/3 t = -1 t = или t= tgx = -1 tgx = 2/3 x =- +πk; k Є Z x= arctg2/3+πn; nЄZ π4π4 Ответ: +πn; arctg2/3+πn; nЄZ π4π4

II.Способы решения перейти решение однородных уравнений 2 Однородные уравнения относительно sin x и cos x: a sinx + b cosx = 0 a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 Значения х при которых соsх = 0, не являются решениями уравнения, т.к. если cosx = 0, то sinx = 0, а sinx и cosx не могут быть равными нулю одновременно. cosx 0 в однородных уравнениях К оглавлениюК обучающей с/р

II.Способы решения перейти решение однородных уравнений 2 3sinx + 2 cosx = 0 Пример: // разделим на cosx0 в однородном уравнении 3 tgx +2 =0 3tgx = -2 tgx = -2/3 x=arctg(-2/3) + πn, n Є Z Ответ: arctg(-2/3) + πn, n Є Z Решение: К оглавлениюК обучающей с/р

перейти II.Способы решения разложение на множители 3 sin2x = 2cos²x Пример: Решение: 2 sinx cosx -2 cos²x= 0 ! Делить на cosx нельзя 2cosx (sinx –cosx) = 0 cosx= 0 или sinx – cosx = 0 |разделим на cosx0 в однородном ур-и x = +πk, k Є Z, или tgx -1=0 x = +πn, n Є Z π4π4 π2π2 Ответ: π4π4 π2π2 +πk, +πk, kЄZ К оглавлениюК обучающей с/р

II.Способы решения перейти Линейные уравнения относительно sinx и cosx 4 a sinx + b cosx = c, где: с 0; a² + b² 0 4a Введение вспомогательного угла a² + b² sin(x +μ) = c, где: μ = arctg a > 0 baba К оглавлениюК обучающей с/р

II.Способы решения перейти Линейные уравнения относительно sinx и cosx 4 4a Введение вспомогательного угла 3 sinx + cosx = 3 Пример: Решение: a² + b² = 3 +1 = 2 μ = arctg = 1313 π6π6 π6π6 sin(x+ )= 3/2 x = (-1) +πn - π6π6 π3π3 n Ответ: (-1) +πn - n π3π3 π6π6 К оглавлениюК обучающей с/р

Решение уравнений, содержащих выс. степени 5 II.Способы решения перейти Формулы понижения степени: 2 cos²x = 1+ cos2x 2sin²x = 1 – cos2x 2sinx cosx = sin2x sin²x +cos²x=1 (sin²x + cos²x)²=1 sinx + cosx = =sin x + 2sin²x cos²x + cosx – 2sin²x cos²x = = 1 – 2 sin²x cos²x = 1 – 0,5 sin²2x sinx + cosx = =(sin²x + cos²x)(sinx + sin²x cos²x + cosx)= =sinx + 2sin²x cos²x + cosx – 3 sin²x cos²x = 1 – ¾*sin²2x К оглавлениюК обучающей с/р

Решение уравнений, содержащих выс. степени 5 II.Способы решения перейти Пример: Решение: 4sin x +12 cos²x = 7 (2sin²x)² + 6( 2cos²x) = 7 (1-cos2x)² + 6(1+cos2x)=7 1-2cos2x+cos²2x+6+6cos2x=7 cos²2x + 4cos2x = 0 cos2x(cos2x +4)=0 cos2x=0 или сos2x +4=0 2x = π/2+ πn или т.к. |cos t|<1, нет корней x = π/4+πn/2, n Є Z + - Ответ: π/4+πn/2, n Є Z + - К оглавлениюК обучающей с/р + -

перейти II.Способы решения Решение уравнений с ограниченной ОДЗ6 Пример: Решение: sinx 1 + cosx =0 Найдем ОДЗ: cosx -1; x π +2 πn, n Є Z sinx=0 x= πn, n Є Z – сравним с ОДЗ x= 2πn Ответ:2πn2πn К оглавлениюК обучающей с/р