х y 0 k – угловой коэффициент прямой(секущей) Касательная Секущая Обозначение:

Прямая проходит через начало координат и точку Р(3; -1). Чему равен ее угловой коэффициент?

х y 0 k – угловой коэффициент прямой(секущей ) Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей. Касательная Секущая Р Р1Р1

х y 0 k – угловой коэффициент прямой (касательной) Касательная Геометрический смысл производной Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи - это скорость

. Δх – перемещение тела Δt – промежуток времени в течение которого выполнялось движение

Прототип B Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x²+6x-8. Найдите абсциссу точки касания. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения y´=7 : (x²+6x-8)´=7; 2x+6=7; x=0,5 Ответ: 0,5.

Решeние: Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (3; 0) и (4,6; 7). В них содержатся целые точки 2, 1, 5 и 6, всего их 4. Ответ: 4.

Прототип B На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. Решeние: Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках. Ответ: 4.

Прототип B На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решeние: Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44. Ответ: 44.

Прототип B На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение? Решeние: На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наибольшее значение функции достигается на левой границе отрезка, т. е. в точке 3. Ответ: 3.

Прототип B На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [10; 10]. Решeние: Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулем производной. Производная обращается в нуль в точках 6, 2, 2, 6, 9. На отрезке [10; 10] функция имеет 5 точек экстремума. Ответ: 5.

Прототип B На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Решeние: Промежутки возрастания данной функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых ее производная положительна, то есть интервалам (7; 5,5), (2,5; 4). Данные интервалы содержат целые точки –6, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Их сумма равна –3. Ответ: –3.

Прототип B На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x11 или совпадает с ней. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = 2x11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2. Найдем количество точек, в которых y'(x 0 ) = 2, геометрически это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = 2. На данном интервале таких точек 5. Ответ: 5.

Прототип B На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; 4), C(2; 4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB Ответ: 2.

Прототип B На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому Ответ: 0,25.

Прототип B На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точкахA (2; 9), B (2; 3),C (5; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. Поэтому Ответ: -2.

Прототип B На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8). Решeние: Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому k = 1,25. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25. Ответ: 1,25.

Прототип B На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, она имеет вид y=b, и её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс. Поэтому искомая точка x=-3 ответ: -3.

Прототип B На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=-12. Решeние: Поскольку касательная параллельна прямой y=-12, её угловой коэффициент равен 0. Следовательно, необходимо найти точки, в которых угловой коэффициент касательной, равен нулю. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому необходимо найти точки, в которых производная равна нулю. Это точки экстремума, их 7. Ответ: 7.

Прототип B На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Решeние: Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: 4,7; 1,4; 2,6 и 4,2. Производная равна нулю в 4 точках. Ответ: 4.

Прототип B Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 11 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки Адо точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат расстояние s в метрах. Определите, сколько раз точка М меняла направление движения. Решeние: В момент времени, когда точка меняет направление движения, ее мгновенная скорость равна нулю. Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции s(t). Точек экстремума на графике 8. Ответ: 8.

Прототип B Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=6t²-48t+17 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с. Решeние: Найдем закон изменения скорости: V(t)=x´(t)=12t-48 При t = 9 c имеем: V(9)=12*9-48=60 м/с. Ответ: 60.

Прототип B Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t²-13t+23 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с? Решeние: Найдем закон изменения скорости: v(t)=x´(t)=2t-13 м/с. Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, решим уравнение: 2t-13=3; 2t=16; t=8c. Ответ: 8.

Прототип B На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x;x; x;…; x. В скольких из этих точек производная функции положительна? Решeние: Положительным значениям производной соответствует интервалы, на которых функция y=f(x) возрастает. На них лежат точки x;x; x; x; x. Таких точек 5. Ответ:5.

Прототип B На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x. Решение: Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A(5;8), B(5;-2) и C(0;-2). Угол ACB равен углу наклона касательной. Его тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Ответ: 2.

Прототип B На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: x;x; x;…; x В скольких из этих точек производная функции отрицательна? Решeние: Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает. В этих интервалах лежат точки x; x; x; x; x; x; x. Таких точек 7. Ответ:7.

Прототип B На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки 2, 1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная положительна в точках 2 и 2. Угол наклона (и его тангенс) явно больше в точке 2. Ответ:2.

Прототип B На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки 2, 1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. Решeние: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках 1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший. Ответ:4.

Обозначения: Функция F называется первообразной для функции f, если выполняется условие

Совокупность всех первообразных F(x)+c для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается где f(x) – подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение (дифференциал), с – постоянная интегрирования.

ab х=а x=b 0 y = f(x) Х У Криволинейная трапеция Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Площадь криволинейной трапеции. f(x) где F(x) – любая первообразная функции f(x).

Формула Ньютона-Лейбница

Прототип B На рисунке изображён график функции y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [2;4]. Решeние: По определению первообразной на интервале (3; 5) справедливо равенство: f(x)=F´(x) Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). Это точки 2,6; 2,2; 1,2; 0,5; 0; 0,4; 0,8; 1,2; 2,2; 2,8; 3,4; 3,8. Из них на отрезке [2;4] лежат 10 точек. Таким образом, на отрезке [2;4] уравнение f(x)=0 имеет 10 решений. Ответ:10.

Прототип B На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) одна из первообразных функцииf(x). Решение: Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому F(b)-F(a)=(1+6)/2*2=7 Ответ:7.

Прототип B На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-3x³-27x²-240x-8 одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Решeние: Найдем формулу, задающую функцию f(x), график которой изображён на рисунке. Следовательно, график функции f(x) получен сдвигом графика функции y=3-3x² на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции y=3- 3x² и отрезком оси абсцисс. Имеем: Ответ: 4.