Перпендикулярные прямые в пространстве с в а α 1. а вс М А С Лемма Дано: а || в, прямая а перпендикулярна с Доказать: прямая в перпендикулярна прямой с 2. Определение перпендикулярности прямых.

Перпендикулярность прямой и плоскости. с в а α 1.2. а а в аМ А х Дано: прямые а и в перпендикулярны плоскости α Доказать: прямые а и в параллельны. 3. Теорема 1 Дано: а II а, прямая а перпендикулярна плоскости α Доказать: а перпендикулярна плоскости α. В

Задачи на определение перпендикулярности прямой и плоскости. Задача 119 А О В С Д Доказать 1)АВ=АС; 2)ОВ=ОС; 3).АВ=ДВ А В С Д О К Задача 120 ОК- перпендикуляр к плоскости квадрата. ОК= в, АВ= а. Найти КС,КД.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости а ОР Q В F А m а р n α Дано: плоскость α,прямая а перпендикулярна прямым ОР и ОF, ОР и ОF лежат в плоскости. Доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости.

Задача 1 В А С Д М Дано: МВ перпендикуляр к ВА и ВС,т Д принадлежит стороне АС. Определить вид треугольника МВД. Задача 125 Р Р G G К Дано: РР и GG перпендикулярны плоскости α РР=21,5 см,GG=33.5 см. Найти РG.

Задача 122 С Д К О А В Дано: СД перпендикулярна плоскости АВС ОК ІІ СД, Δ АВС- правильный АВ=163,СД=16. Найти ДА,ДВ,КВ,КА. Задача 127 А В С Д

Перпендикулярность прямой и плоскости А В С Д Задача 1 Отрезок АВ не пересекает плоскость α, АС и ВД перпендикулярны плоскости α. АС=20 см,ВД=30 см, т М принадлежит АВ, причем АМ:МВ=2:3, ММı перпендикулярен плоскости α Найдите ММı м м Решение: АС и ВД перпендикулярны плоскости α, тогда по теореме 2 АС ıı ВД, по определению параллельные прямые задают плоскость β, которая пересекает плоскость α по прямой СД. АС и ВД перпендикулярны прямой СД ( по определению перпендикулярной прямой к плоскости ) Через т А проведем прямую параллельную СД Δ АМР~Δ АВК,ВК=10 см, АМ:АВ=2:5, МР=4 см, ММ =14 см. К Р

Задача 1 С В А М Дано: т М лежит вне плоскости АВС МВ=МД, АВСД- ромб Доказать: прямая ВД перпендикулярна плоскости АМС. Д В Д С А Р М Дано: ΔАВС, т М не принадлежит пл. АВС АС=АВ,МС=ВМ, ДМ перпендикулярна ВС. Доказать: ВС перпендикулярна ДР. О Задача 2

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. М с а β α Дано: пл. α, т М не принадлежит пл. α Доказать, что существует прямая, перпендикулярная плоскости α, проходящая через точку М и притом только одна. План доказательства: 1. Прямая а принадлежит плоскости α. 2. Плоскость β через т М, перпендикулярно к прямой а, 3. Прямая b - линия пересечения пл. α и β 4. Прямая с в плоскости β через т М, перпендикулярно прямой b 5. Прямая с –искомая. b

Задача 2 α С К А В М Дано:Δ АВС СК перпендикулярна плоскости α. Угол С равен 90˚, АС=12 см, ВС=16 см,СК=24 см а)СМ-медиана. б)СМ-высота, в)СМ- биссектриса. Найти КМ

Решение: а) СМ-медиана, тогда СМ=1/2АВ,АВ найдем по т Пифагора, АВ=20 см Так как СК перпендикуляр к плоскости, то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, СК перпендикулярна СМ, Δ СМК- прямоугольный. По теореме Пифагора КМ=26 б) СМ-высота, Δ АВС- прямоугольный, найдем площадь треугольника по формуле S=1/2 ав,где а, в- катеты. S=1/2·12·16=96, площадь этого треугольника можно найти еще по формуле S=1/2СМ·АВ,СМ=9,6, КМ=668,16~25,8 в) СМ-биссектриса, тогда СМ найдем воспользовавшись формулой для вычисления площади и свойством площадей S=1/2·12·16=1/2·12·СМ·sin45˚+1/2СМ·16·sin45˚ 96=(32+42)·СМ, СМ=96/72, КМ=24/7· 57

Перпендикуляр и наклонная В С А Д х 60˚ Дано: АД- перпендикуляр к плоскости α, АВ и АС наклонные, ВС=4. Найти угол АВС. А В С Д 2 60˚ 30˚ Задача 1. Задача 2. Дано: ДА- перпендикуляр к плоскости β, ДВ и ДС- наклонные, ДС=10. Найти угол ВАС. α β

Перпендикуляр и наклонные А Д В С α 6 Х Дано: АД- перпендикуляр плоскости α, угол ВАС равен 120˚, угол АСД равен 60˚и угол АВД равен 60˚.Найти ВС. Задача 3. Задача 4. А В С А Д Дано: АА - перпендикуляр к плоскости α, АВ и АС- наклонные, ВД=5 см, АД=15 см. Найти АВ. α

Решение задач 1,2, 3 3. Так как АД перпендикуляр плоскости α,то Δ АСД и Δ АВД – прямоугольные, АС=6·sin60˚=6·3 /2=3·3, АВ=3·3, ΔАВС - равнобедренный, угол А равен 120˚, по теореме косинусов найдем ВС, ВС²=АВ²+АС²-2АВ·АС·cos120˚. ВС²= ·27·(- ½)=54+27=81, ВС=9 1. Так как АД- перпендикуляр плоскости, то Δ АВД и ΔАСД- прямоугольные, АВ=2: cos60˚= 2:1/2=22. АС=2:sin30˚=22. По теореме косинусов АС²=АВ²+ ВС²- 2АВ·ВС· cos х, 8= · 22·4·cos х, cost=8/ 162, cost=2/2, х=45˚,угол АВС равен 45˚. 2. АД перпендикуляр к пл β, Δ АДС- прямоугольный. АС=ДС·cos60˚=10·1/2=5. Δ ДАС прямоугольный, АД=ДС·sin60˚=10·3/2=53, ΔАВД- прямоугольный, АВ²=ДВ²- ДА²,АВ²=139-75=64,АВ=8, Δ АВС по т косинусов ВС²=АС²+АВ²- 2АС·АВ·cost, 49= ·8·5·сosх сosх=40/80, cost=1/2,угол ВАС равен 60˚.

Задача 5 М 60˚ 30˚ 10 а А С В Дано: прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол АСВ-прямой. Найти МВ а В С Д А Р Дано: прямая а перпендикулярна пл. АВС, угол РДА равен 45˚, РС=12 см АВСД -прямоугольник. Найти ДС и АД. 60˚

Реши самостоятельно Задача. А В Д С 30˚6 16 Дано: АВ- перпендикуляр к плоскости, АС и АД- наклонные. Найти АД и ВС, если: 1) угол АСВ равен 30˚, АС=16 см,ВД=6 см. А СДВ 2) угол АСВ равен 45˚, АС=82, ВД=6. А Д С В 3) АС=4 см, угол АСВ равен 60˚, ВД=

Расстояние от точки до плоскости Задача 1. В треугольнике АВС АВ=ВС=12 см, АF высота ΔАВС и равна 9 см, т S удалена от каждой вершины треугольника АВС на 10 см. Найти расстояние от т S до плоскости треугольника АВС. Задача 2 Точка S удалена от каждой стороны Δ АВС на 5 см.АВ=ВС=10 см.АС=12 см. Найти расстояние от точки S до плоскости треугольника. Задача 3. Точка S удалена от каждой стороны ромба на 20 см. Найти расстояние от точки S до плоскости ромба, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Задача 4. Точка S удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС на 13 см.Найти расстояние от т S до плоскости треугольника, если катеты равны 8 см и 6 см. Чтобы решить каждую из этих задач надо: Определить проекцию точки S на плоскости АВС, вспомнив где лежат центры окружностей вписанной, описанной около треугольника, ромба. Воспользоваться понятием расстояния от точки до плоскости.

Решение задач 1,2. Задача 1. S А В С О Так как SА=SВ=SС, то проекции этих наклонных АО=ВО=СО.SО перпендикуляр к плоскости АВС, Δ АSО прямоугольный. Δ АСВ равнобедренный, СF=ВF, СF=37, Ѕ АВС =277. АО-радиус окружности, описанной около треугольника АВС найдем по формуле R=авс/ 4S, R=12·12·67/ 4· 277. R=8. Из Δ SОА найдем SО по теореме Пифагора.SО=6 см. F Задача 2. S А В С М N О Так как т S находится на равном расстоянии от сторон треугольника, то проекцией этой точки на плоскость является т О- центр окружности, вписанной в Δ АВС, радиус этой окружности найдем, используя формулу площади S= р·r, S=1/2АС· ВN. ВN=8, S=48.р=16,r=3. Так как SО перпендикуляр к плоскости, то ΔSОМ прямоугольный, по т Пифагора SМ=4 см.

Теорема о трех перпендикулярах А В С а Дано: пл α, АС- перпендикуляр, АВ- наклонная к плоскости α ВС- проекция наклонной на пл α ВС перпендикулярна прямой а лежащей в плоскости. Доказать: прямая а перпендикулярна АВ. α

Теорема о трех перпендикулярах Задача 1. С А О М 4 В Д К Дано: АВСД- квадрат, МО- перпендикуляр к плоскости АВС, МС=4 см, угол МСО равен 60˚Найти МК. Задача 2. С В А М Д Дано: Δ АВС - прямоугольный, МС- перпендикуляр к плоскости АВС,МД- расстояние от т М до стороны АВ. АС=15 см, ВС=20 см,ДМ=13. Найти МС Задача 3. М С А В Д Дано: МС- перпендикуляр к плоскости АВС, МД- расстояние от т М до стороны АВ, МС=5 см,АС=15 см, ВС=13 см,АВ=14 см.Найти МД. Задача 4. В А С Д М Дано: АВСД- параллелограмм, МВ- перпендикуляр, ВС=30 см,АВ= 12 см,угол С равен 30˚, МВ=8 см Найти расстояние от т М до сторон АД и ДС.

Постройте перпендикуляры к прямым А В С Д М Из т М к прямым ВС и АС 1. А В С Д М Из точки М к прямым АС и АВ 2. В А С М 150˚ Из т. М к прямой АС

Реши самостоятельно А В С М Д Дано: МА перпендикуляр к плоскости, ДМ- расстояние от т М до стороны ВС, т Д-середина ВС. Доказать: АВ=АС. Найти ДМ, если МА=12,АВ=10,ВС=103. А ВС Д О М Дано: АВСД- ромб, МС- перпендикуляр к плоскости. Доказать: МО перпендикулярно ВД. Найти МО, если МС=5 см, АВ=10 см, угол А равен 60˚. Дано: МВ перпендикуляр к плоскости, МА- расстояние от т М до стороны АД. АВСД - параллелограмм. Доказать : АВСД- прямоугольник. Найти МА, если ВД=10 см,угол АВД равен 30˚,ВМ=5 см. А В С Д М

Угол между прямой и плоскостью С Д О α а СО- перпендикуляр к плоскости СД- наклонная,ОД- проекция наклонной СД на плоскость угол СДО- есть угол между пл α и прямой СД по определению.

Двугранные углы α β а угол СДВ –линейный угол двугранного угла ВДРС Д С В А В С Д N Р Угол САД равен углу РВN Р

Построение линейных углов двугранных углов Задача 1 А М В С Д Построить линейный угол двугранного угла МВСА Задача 2 Построить линейный угол двугранного угла АСДВ А В С Д

Решение задач на определение двугранного угла В М С А Дано: Δ АВС- прямоугольный, катет АС принадлежит плоскости α, т В находится на расстоянии от плоскости α, плоскость треугольника составляет с плоскостью α угол 45˚.АС-6 см, а гипотенуза АВ относится к катету ВС как 5:4. Найти расстояние от т В до плоскости α. Задача 1. α

Задача 2. α С В А Д Р Дано: Δ АВС- прямоугольный, катеты АС и СВ равны 5 см и 12 см, плоскость α проходит через гипотенузу и составляет с плоскостью треугольника угол 30˚.Найти расстояние от вершины С до плоскости α.

Перпендикулярность плоскостей β α с д А Дано:α пересекает плоскость β по прямой а, прямая АС принадлежит плоскости β, АС перпендикулярна пл α. Доказать: пл α и пл β перпендикулярны. а

Точки А и В лежат на ребре прямого двугранного угла САВД Отрезки АС и ВД проведены в разных гранях перпендикулярно ребру АВ двугранного угла. АВ=а, АС=в, ВД=с 1.Объясните, как построить линейный угол двугранного угла САВД 2. Найдите длину отрезка СД. А В С Д М

Прямоугольный параллелепипед А В С Д С Д В А Свойства параллелепипеда : 1. все 6 граней- прямоугольники; 2. все двугранные углы прямые; 3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны 4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений АС ²= АА ²+АВ²+АД²