МОУ "Поярковская СОШ 1" Работу выполнили ученики 11Б класса Соцкая Елена, Калиниченко Антон Учитель: Холявка Н.В.
Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней, XIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней, XIII книге Евклида, является венцом его «Начал». Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как вписать эти многогранники в сферу. Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как вписать эти многогранники в сферу.
Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Правильные многогранники - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Сколько же их существует?
Составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна ГРАНИ -4 РЕБРА -6 ВЕРШИНЫ- 4 ОСИ СИММЕТРИИ- 3 ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ - 6
Составлен из 6 квадратов каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов равна Составлен из 6 квадратов каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов равна ГРАНИ -6 ГРАНИ -6 ВЕРШИНЫ -8 ВЕРШИНЫ -8 РЕБРА -12 РЕБРА -12 ОСИ СИММЕТРИИ - 13 ОСИ СИММЕТРИИ - 13 ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ - 9 ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ - 9
Вершины –20 Вершины –20 Ребра -30 Ребра -30 Грани-12 Грани-12 СОСТАВЛЕН ИЗ 12 ПРАВЕЛЬНЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ. КАЖДАЯ ВЕРШИНА ДОДЕКАИДРА ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ТРЕХ ПРАВЕЛЬНЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,СУММА ПЛОСКИХ УГЛОВ РАВНА СОСТАВЛЕН ИЗ 12 ПРАВЕЛЬНЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ. КАЖДАЯ ВЕРШИНА ДОДЕКАИДРА ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ТРЕХ ПРАВЕЛЬНЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,СУММА ПЛОСКИХ УГЛОВ РАВНА
Грани-8 Грани-8 Вершины-6 Вершины-6 Ребра-12 Ребра-12 Оси симметрии – 13 Оси симметрии – 13 Плоскости симметрии - 9 Плоскости симметрии - 9 СОСТАВЛЕН ИЗ ВОСЬМИ РАВНОСТОРОННИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. КАЖДАЯ ВЕРШИНА ОКТАЭДРА ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ЧЕТЫРЁХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО СУММА ПЛОСКИХ УГЛОВ СОСТАВЛЕН ИЗ ВОСЬМИ РАВНОСТОРОННИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. КАЖДАЯ ВЕРШИНА ОКТАЭДРА ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ЧЕТЫРЁХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО СУММА ПЛОСКИХ УГЛОВ РАВНА РАВНА
Грани -20 Грани -20 Вершины-12 Вершины-12 Ребра-30 Ребра-30 Оси симметрии – 31 Оси симметрии – 31 Плоскости симметрии - 15 Плоскости симметрии - 15 СОСТАВЛЕН ИЗ 20 РАВНОСТОРОННИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ,КАЖДАЯ ВЕРШИНАИКОСАИДРА ЯВЛЯЕТСЯ ВЕРШИНОЙ ПЯТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.СЛЕДОВАТЕЛЬНО СУММА ПЛОСКИХ УГЛОВ ПРИ КАЖДОЙ ВЕРШИНЕ РАВНА
Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют телами Платона. Существуют ли ещё какие-либо многогранники?
Звездчатые формы вместе с правильными и полуправильными телами образуют 66 тел. Это число почти удвоится, если к ним добавить невыпуклые однородные многогранники, у которых часть граней, состоящая из правильных многоугольников, является выпуклой, а часть оказывается вдавленной внутрь объема. Это свойство тел, с одной стороны, роднит их с правильными и полуправильными телами, а с другой объединяет и со звездчатыми телами, которые могут покоиться на плоскости, только опираясь на несколько вершин или ребер. Особый класс образуют параллелоэдры, которыми можно заполнить все бесконечное пространств, не оставляя пустоты и без того, чтобы их внутренние объемы пересекались (рис. 26 – 30). Звездчатые формы вместе с правильными и полуправильными телами образуют 66 тел. Это число почти удвоится, если к ним добавить невыпуклые однородные многогранники, у которых часть граней, состоящая из правильных многоугольников, является выпуклой, а часть оказывается вдавленной внутрь объема. Это свойство тел, с одной стороны, роднит их с правильными и полуправильными телами, а с другой объединяет и со звездчатыми телами, которые могут покоиться на плоскости, только опираясь на несколько вершин или ребер. Особый класс образуют параллелоэдры, которыми можно заполнить все бесконечное пространств, не оставляя пустоты и без того, чтобы их внутренние объемы пересекались (рис. 26 – 30). Параллелоэдры
Архимед 287 – 212 гг. до н.э. Архимед описал полуправильные многогранники Усечённый тетраэдр Усечённый октаэдр Кубоктаэдр Это многогранники, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения.
Правильные невыпуклые многогранники «Тела Пуансо» В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо ( ), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Итак, стали известны четыре типа таких фигур. все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо ( ), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников. Итак, стали известны четыре типа таких фигур. все грани которых - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми. В 1812 г. О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.
К звездчатым относятся и тела Пуансо (на рис. позиции 6 – 9), у которых имеются самопересекающиеся грани. Они, как и звезда Кеплера, не противоречат определению многогранника, а это определение требует, чтобы каждое ребро многогранника разделяло две и только две грани. Если, двигаясь по граням и пересекая ребро за ребром, мы можем обойти весь многогранник по внешним, всегда видимым сторонам, не рискуя оказаться с внутренней стороны какой- нибудь из граней, то такой многогранник называется ориентированным, в противном случае неориентированным. Звездчатые и все прочие многогранники, изображенные на рис. являются ориентированными. К звездчатым относятся и тела Пуансо (на рис. позиции 6 – 9), у которых имеются самопересекающиеся грани. Они, как и звезда Кеплера, не противоречат определению многогранника, а это определение требует, чтобы каждое ребро многогранника разделяло две и только две грани. Если, двигаясь по граням и пересекая ребро за ребром, мы можем обойти весь многогранник по внешним, всегда видимым сторонам, не рискуя оказаться с внутренней стороны какой- нибудь из граней, то такой многогранник называется ориентированным, в противном случае неориентированным. Звездчатые и все прочие многогранники, изображенные на рис. являются ориентированными.
Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.Снежинки
Тела Архимеда Тело Ашкинузе
Определение Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многогранники нескольких типов (этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых - правильные многоугольники одного типа). Архимедовыми телами называются полуправильные, однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многогранники нескольких типов (этим они отличаются от Платоновых тел, грани которых - правильные многоугольники одного типа). Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных выпуклых многогранников («архимедовых тел»), который впервые перечислил их в не дошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа. Теорией этих тел занимался также Кеплер. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных выпуклых многогранников («архимедовых тел»), который впервые перечислил их в не дошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа. Теорией этих тел занимался также Кеплер. Каждый из многогранников ограничен неодноимёнными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноимённые многоугольники, причём в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Каждый из многогранников ограничен неодноимёнными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноимённые многоугольники, причём в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке. Немного истории
Курносый куб Курносый додекаэдр Ромбоикосододекаэдр Ромбокубооктаэдр
Сделаем вывод: Мы убедились, что существуют ещё и невыпуклые правильные многогранники.