Пять красивых тел. Правильные многогранники Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л. Кэррол

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники. Правильные многогранники

Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников. Тетраэдр Икосаэдр Октаэдр Додекаэдр Гексаэдр

Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа: 1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; 2) Правильная форма алмаза – октаэдра; 3) Кристаллы пирита – додекаэдра. 123

Важным свойством правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника.

Концепция четырех элементов Ко времени Платона в античной философии созрела концепция четырех элементов(стихий) – первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли. Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью. Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся»

Форма октаэдра – атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны. Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

Математические свойства правильных многогранников Тело Платона Число граней вершин Геометрия грани m Тетраэдр Октаэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр 4 (тетра) 8 (окта) 20 (икоса) 6 (кекса) 12 (додека) Формула Эйлера Г + В – Р = 2

Теория многогранников - одна из самых увлекательных глав геометрии. Правильные многогранники всегда восхищали пытливые умы симметрией, простотой и мудростью своих форм. Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева каркасы правильных многогранников и преподносить их в виде подарка различным знаменитостям

Иоганн Кеплер ( ) – выдающийся немецкий математик, физик, астроном. Следуя пифагора-платоновской традиции, Кеплер верил, что в основе мироздания лежат простые числовые соотношения и совершенные геометрические формы. Иоганн Кеплер

Тайна мироздания Вселенная устроена на основе единого геометрического принципа (по И.Кеплеру). В сферу орбиты Сатурна вписываем куб, в куб – сферу Юпитера. В сферу Юпитера вписываем тетраэдр, в тетраэдр –сферу Марса. В сферу Марса вписываем додекаэдр, в додекаэдр – сферу Земли. В сферу Земли вписываем икосаэдр, в икосаэдр – сферу Венеры. В сферу Венеры вписываем октаэдр, в октаэдр – сферу Меркурия.. В центр всей системы И.Кеплер поместил Солнце.

Космический кубок Кеплера Иллюстрация И. Кеплера из его книги «Тайна мироздания» 1596 год

Математические расчёты показали, что совпадение с данными Коперника по радиусам планетных орбит было поразительным, но всё-таки не совсем точным. Однако, эта работа привела к открытию истинных астрономических законов- трёх знаменитых законов Кеплера, на базе которых И.Ньютон построил свою теорию тяготения.

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера нашли своё продолжение и в наши дни. Московские инженеры В.Макаров и В. Морозов высказали гипотезу, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, лучи или силовое поле кристалла обуславливают икосаэдра- додекэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают контуры вписанных икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль этой сетки, а в узлах располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. В этих точках расположены загадки Земли: озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли определят отношение к этой гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон) и все многогранные углы равны. К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны Полуправильные многогранники называют также равноугольно полуправильными многогранниками, из-за того, что все их многогранные углы равны. Полуправильные многогранники (тела Архимеда)

Звёздчатые многогранники (тела Кеплера - Пуансо)

Домашнее задание. Изготовить модели пяти правильных многогранников с ребром равным 5 см.