Жадько Евгений МОУ СОШ 3 10А кл. г.Соль-Илецк 2008 г.

ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС.

Немного истории… Немного истории… Немного истории Немного истории Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия Гармоническая прогрессия Гармоническая прогрессия Гармоническая прогрессия Гармоническая прогрессия Арифметико-геометрическая прогрессия Арифметико-геометрическая прогрессия Арифметико-геометрическая прогрессия Арифметико-геометрическая прогрессия Задачи на использование прогрессий Задачи на использование прогрессий Задачи на использование прогрессий Задачи на использование прогрессий Список литературы Список литературы Список литературы Список литературы

Самой известной древней задачей на прогрессии считается задача об изобретении шахмат. В древней Индии ученый Сета изобрел шахматы и попросил у шаха Шерама в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, то есть 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, то есть 4 зерна, и так далее до шестьдесят четвертой клетки. Сначала индийский царь обрадовался, что дешево отделался, и лишь потом выяснил, что такого количества пшеницы нельзя собрать со всех полей Земли в течение десятков лет. Вот это число: Немного истории…

На самом деле, древнейшая задача на прогрессии задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда: Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Немного истории…

"Прогрессия" – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность Немного истории…

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … 5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2; … Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. где d – разность прогрессии, а S n – сумма ее первых n членов. 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … 5 = 3 + 2; 7 = 5 + 2; … Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. где d – разность прогрессии, а S n – сумма ее первых n членов.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 2 = 1·2; 4 = 2 · 2; 8 = 4 · 2;... Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. где q – знаменатель прогрессии, S n - сумма ее первых n членов 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … 2 = 1·2; 4 = 2 · 2; 8 = 4 · 2;... Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. где q – знаменатель прогрессии, S n - сумма ее первых n членов

Последовательность чисел называется гармонической прогрессией, если величины, обратные этим числам, являются членами арифметической прогрессии. Например, числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, … образуют гармоническую прогрессию.

Арифметико-геометрическая прогрессия задается следующим рекуррентным соотношением:,, где q и d – постоянные параметры. Если, то получаем арифметическую прогрессию:,, а если, то получаем геометрическую прогрессию:,.

В геометрической прогрессии и. Найдём По формуле n-го члена геометрической прогрессии

Архимед

Архимед Величайшим учёным эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287 – 212 г.г. до н.э.) живущий в Сиракуза на о.Сицилия. В письме о О спиралях Архимед определяет спираль, носящую теперь его имя. Величайшим учёным эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287 – 212 г.г. до н.э.) живущий в Сиракуза на о.Сицилия. В письме о О спиралях Архимед определяет спираль, носящую теперь его имя. Заметим, что в Квадратуре параболы Архимед нашёл сумму бесконечных убывающей прогрессии: Заметим, что в Квадратуре параболы Архимед нашёл сумму бесконечных убывающей прогрессии: На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил великий Архимед. На связь между прогрессиями первым, по-видимому, обратил великий Архимед.

Карл Гаусс

Гаусс Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 100. Однажды на уроке в третьем классе, где учился Гаусс, учитель дал задание сложить все числа от 1 до 100. Маленький Гаусс сразу сообразил, что Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100= = = = =101 и т.д. 3+98=101 и т.д. Сообразил он и то, что таких пар будет 50 (в формуле написано ) Сообразил он и то, что таких пар будет 50 (в формуле написано ) Осталось умножить что мальчик сделал в уме. Осталось умножить что мальчик сделал в уме. Короче говоря, он закончил вычисления, едва только учитель продиктовал задание. Короче говоря, он закончил вычисления, едва только учитель продиктовал задание.

Леонтий Филипович Магницкий

Леонтий Магницкий Создатель первого учебника Арифметика (издан более 200 лет назад) Создатель первого учебника Арифметика (издан более 200 лет назад) В учебнике много задач на тему прогрессия, но их решали с трудом т.к. не знали формул, связывающих величины. В учебнике много задач на тему прогрессия, но их решали с трудом т.к. не знали формул, связывающих величины.

В старинной арифметики Магницкого мы находим следующую забавную задачу, которую привожу здесь, не сохраняя языка подлинника : Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря : - Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия : - Если по - твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6, За первый гвоздь дай мне всего коп., за второй - коп., за третий – 1 коп. и т. д. Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался ? Решение За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить копеек. Сумма эта ровна коп. т. е. около 42 тысяч руб.

О прогрессии известно так давно, что конечно нельзя говорить о том, кто их открыл это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1,2,3,4…n… есть арифметическая прогрессия. О прогрессии известно так давно, что конечно нельзя говорить о том, кто их открыл это и понятно – ведь уже натуральный ряд 1,2,3,4…n… есть арифметическая прогрессия. О том, как давно известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. О том, как давно известна геометрическая прогрессия, косвенным образом свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат.

Вывод. Изучив литературу, я отвечаю на основополагающий вопрос, поставленный в начале проекта, учёных Архимеда, Гаусса и Магницкого объединяет тема математики:Прогрессия

1. Л.Г. Мордкович, Учебник Алгебра 9 класс. 2. А.Г.Мордкович, Е.Е.Тульчинская, Т.Н.Мишустина. Алгебра 9. Задачник. 3. С.А. Теляковский, учебник Алгебра 9 класс. 4. М.Б. Миндюк, Н. Г. Миндюк, Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. 5. А. Н. Колмогоров, МАТЕМАТИКА (статья из Большой Российской энциклопедии, 1998) 6. Я.Н. Суконник, Арифметико-геометрическая прогрессия (журнал Квант).

Руководитель проекта: Яковлева Т.П. Консультант по оформлению: Егорова О. Н.