Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли. А.Д.Александров информационный проект обучающегося группы 1MOCР04-13 ПУГАЧЕВА ВЛАДИСЛАВА ОЛЕГОВИЧА

Предмет изучения: число Актуальность: понятие числа является не только одним из самых важных в математике, но и одним из самых сложных, можно сказать, что вся математика – и арифметика, и алгебра, и геометрия содержится в «круге»,связанном с понятием число. Когда на уроке математики нам был задан вопрос, какие бывают числа, у нас возникли затруднения и мы не смогли ответить на него достаточно полно, поэтому я и решил заняться этим вопросом.

Цели: уточнить понятие «число», разобрать неизвестные ранее свойства чисел Задачи: ответить на вопросы: Что такое число? Какие бывают числа? Какие свойства чисел должны доказываться, а какие входят в определение объектов?

1. Введение 2. Натуральные числа 3. Простые числа Единственность разложения на простые множители Основная теорема арифметики 4. Целые числа Четные и нечетные целые числа Свойство целых чисел 5. Действительные числа Рациональные числа Десятичные представления Иррациональные числа План

1. Введение Действительные числа Рациональные числа Иррациональные числа Нуль Дробные числа Целые числа Положи тельные Простые Отрица тельные Десятич ные Натуральные Действительные числа являются основной числовой системой в математике

2. Натуральные числа , 6, 7, 8, 9, …+ Наименьшее натуральное число Наибольшее натуральное- не существует «Бог создал натуральные числа; все остальное – дело рук человека». Леопольд Кронекер Исходную числовую систему в математике образуют обычные числа, используемые для счета

2. Натуральные числа Свойства: 1. Совокупность натуральных чисел замкнута относительно сложения и замкнута относительно умножения. 2. Совокупность натуральных чисел не замкнута относительно вычитания. 1-натуральное 3-натуральное Сумма 1+3=4-натуральное 1-натуральное 3-натуральное произведение 1*3=3-натуральное 1-натуральное 3-натуральное Сумма 1-3=-2 - не натуральное

3. Простые числа Простое число есть натуральное число, единственными делителями которого являются оно само и 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…

1 не является простым числом Последовательность простых чисел бесконечна Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено на простые множители 3. Простые числа

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ: Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено в произведение простых множителей, и притом лишь единственным способом, если отвлечься от порядка следования множителей. 3. Простые числа Единственность разложения на простые множители 95860=10*2*9*527=2*2*3*3*5* =17* =2*2*3*3*5*17*31

4. Целые числа Если к натуральным числам добавить отрицательные числа и ноль, то вместе они образуют множество целых чисел: a+b=b+a ab=ba a*0=0*a (a+b)+c=a+(b+c) Целые числа четные нечетные (ab)c=a(bc) a+0=0+a=a 1*a=a*1=a a(b+c)=ab+ac

4. Целые числа Свойства четных и нечетных чисел 1º. Множество четных чисел замкнуто относительно умножения (2m)(2n)=4mn=2(2mn ) 2º. Множество нечетных чисел замкнуто относительно умножения (2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1

6. Действительные числа Под действительными числами понимается совокупность всех чисел, связываемых точками на числовой оси. Рациональные числа образуют подмножество всех действительных чисел. Однако имеются действительные числа, не являющиеся рациональными. Например, число нерационально. Такие числа называются иррациональными.

5. Действительные числа Рациональное число-это такое число, которое можно представить в виде a/d, где a и d – целые числа, причем d0 1)d0 2) Рациональное число и рациональная дробь - синонимы 3) В определение рационального числа входит выражение «число, которое можно представить в виде a/d, где а и d – целые числа и d0» 2/3=4/3=6/3=8/12=… 4) Всякое целое число рационально …,-5/1, 4/1, -3/1, -2/1, -1/1, 0/1, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1,… ½¼ Рациональные числа

5. Действительные числа Десятичные представления 01 1/3 = 0,3333…= … 0,3333…= 0,(3) Представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби единственно

5. Действительные числа Задача. Доказать иррациональность числа Допустим обратное, т.е. - рационально, значит = где a и b -целые числа. Пусть данная дробь несократима, значит a и b не являются оба четными. Возведем обе части равенства в квадрат 2=, a 2 =2 b 2 - четное число, значит a так же четно, заменю a на 2 с ( 2c) 2 =2b 2, 4c 2 =2b 2, 2c 2 =b 2 - четное число. Получаем, как a так и b -четные, получили противоречие, т.к. мы предположили, что дробь несократима, значит число - иррационально Иррациональные числа-числа, которые нельзя представить в виде отношения двух чисел. lg2

Заключение После смерти замечательного французского математика Анри Пуанкаре о нем было сказано, что плодом его деятельности явилось увеличение – а не уменьшение – числа нерешенных вопросов: Пуанкаре больше поставил новых, в его время неразрешимых задач, чем решил тех, которые были поставлены до него