Автори: Тигипко М.І. Павлуша А.В. Петриченко Т.М. Функція та її використання Уманська спеціалізована школа з поглибленим вивченням англійської мови 12

Мабуть, перед кожним учнем під час навчання виникало питання: Чи мають елементарні функціі, що вивчаються на уроках, застосування в житті?

План роботи : 1)Використання функції в математиці; 2)Економічна задача 3) Демографічна задача; 4)Біологічна задача; 4)Фізична задача; 5)Цікаві приклади функцій; 6)Висновок. Ключове питання роботи: Функція – це абстракція чи реальне відображення світу?

Використання функції в математиці Дослідити і побудувати графік функції: Y=3x^5-5x^3+2 1.D(f)=R; 2.Функція ні парна, ні непарна; 3.Функція не періодична; 4.Нулі функції (1;0)- точка перетину з віссю ОХ, (0;2)- перетин з віссю ОY; 5.Критичні точки х1=0, х2=-1,х3=1; 6.max f(x)=4, min f(x)=

Побудуємо графік функції:

Економічна задача: Банк «Аваль» пропонує своїм клієнтам такі депозитні програми : внесок «Підприємець» і внесок «Стабільний». «Підприємець» : відсотки нараховуються щорічно і додаються до основної суми. «Стабільний»: відсотки сплачуються наприкінці строку і не вносяться на рахунок. Ставка відсотку – 20% річних для внесків у доларах за обома видами депозитів. Завдання: розрахувати суму, яку можна зняти через 12 років при початковому внеску $ 1000 за обома депозитами.

Розвязання задачі: РікПідприє- мець Стабільни й , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Очевидно, що внесок Підприємець вигідніший для вкладників, адже за однакові проміжки часу на ньому накопичується більша сума грошей.

Процес, що описує ріст популяції населення: За 15 років населення Китаю збільшилося в 1,2 раз. Через скільки років населення Китаю збільшиться в 1,5 раз. Якщо в певний момент часу t кількість населення країни становить N=N(t), то швидкість зміни населення в цей момент часу описується рівнянням : N(t)=к*N(t),. Тоді функція задається таким рівнянням N(t)=CE^kt, при t=0, С= N(0) N(t)= N(0)*E^kt. Через 15 років у Китаї буде населення N(15)= N(0)*E^15k, за цей час воно збільшилося в 1,2 раз. Отже E^15k=1,2 Тому 15k=Ln(1,2) тобто t=15*Lg(1,5)/ Lg(1,2)=33 (приблизно)

Ось так виглядає цей процес:

Цікавий приклад з медицини: Виявилося, що бактерії розмножуються за законом, який описується показниковою функцією. Диференціальне рівняння розмноження бактерій має вигляд: Його загальний розвязок: Де f(t)-функція, що описує зміну кількості бактерій залежно від часу, k- коефціент пропорційності, що залежить від виду бактерій, C- початкові умови. Встановивши експерементально період поділу бак- терій, ми можемо побудувати графік залежності кількості бактерій від часу. f(t)=k*f(t) f(t) = C*e ^(k*t)

Графік залежності кількості бактерій від часу: Період T поділу коріно- бактерій дефтиріі – 34 хвилини (на графіку зображено червоним кольором). Період T поділу мікобак- терій туберкульозу – 18 годин (на графіку – зеленим кольором). На графіку ми бачимо, що ці процеси відбуваются за законом, що описується показниковою функцією. в момент часу t = 0, кількість бактерій = 1 шт. Початкові умови:

Функції у фізиці Внаслідок розпаду 160 мг радіоактивної речовини через 50 хв залишилося 100 мг. Знайти період піврозпаду. m(t) – маса радіоактивної речовини у певний момент часу; m(t) – швидкість зміни маси у певний момент часу; m(t)=к m(t), де к - коефіцієнт пропорційності; Розвязком даного диференційного рівняння є функція: m(t)= Се^kt. При t=0 С= m(0) і m(t)= m(0)*е ^kt. Період піврозпаду – це проміжок часу Т, протягом якого маса радіоактивної речовини зменшується в 2 рази. m(Т)= ½* m(0, отже k=-Ln(2)/T; Тоді розвязок даного рівняння можна записати у вигляді m(t)= m(0)*е^(-Ln(2)/T); Використовуючи умову задачі знайдемо, що період піврозпаду даної величини приблизно дорівнює Т=73,5 хв

На графіку це представлено так:

Декілька цікавих зображень функцій: Снігова вершина Цей графік було побудовано з використанням тригоно- метричних функцій. x(u,v)=10*(sin(u/10)+cos(v/10)) y(u,v)=10*(cos(u/10)+sin(v/10)) z(u,v)=5*(1-2*sqrt(sin((u-0)/10)*sin(v/10)-cos((u-0)/10)*cos(v/10)))+ +1*cos(u/3)+1*cos(v/3)

Сітка для яєць, що переходить в іплікатор Кузнєцова. У цьому випадку використовували степеневу і тригонометричні функції. x(u,x)=u y(u,v)=v z(u,v)=3*sin(u)^8+3*sin(v)^8

Висновок: У цій роботі ми на реальних прикладах показали, яким чином функції описують різні процеси в економіці, біології, медицині, фізиці. Особливо цікавим, на наш погляд, є те, що ці функції відображають явища в різних сферах людського життя.