Прямые и углы. Треугольник. Квадрат и прямоугольник. Параллелограмм. Трапеция. Окружность.

1. Прямые m и n параллельны. Вычислите величину угла х, изображенного на рисунке. Ответ: 40° 12 Решение: <1=15º(соответственные), <2=25º(вертикальные), <х- внешний, <х=15º+25º=40º

2. Найдите градусную меру угла, отмеченного на рисунке. Ответ:150° Решение: <САВ=46 º(вертикальные углы), <х- внешний, равен сумме углов, не смежных с ним. <х=104 º +46 º =150 º С А В х 46° 104°

3. Найдите внешний угол многоугольника. 1 2 Ответ:100° Решение: Сумма углов четырехугольника равна 360 º. <1=360º-40º-150º-60º=110º <2+<1=180º(смежные углы) <2=180º-110º=70º Внешний угол равен сумме углов, не смежных с ним, т.е.30º+70º=100º

1. Градусная мера внешнего угла A равнобедренного треугольника ABC (AB=BC) составляет 125°. Найдите градусную меру внутреннего угла B. А В С 125 ° Решение: <ВАС=180 °-125 °=55 °(смежные углы), <С= <А=55°(при основании). <В=180°-55° ·2=70° Ответ:70° //\\ ?

2. Найдите длину медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равняющейся 12 см. 12 см С А В // М Решение: Медиана, проведенная к из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. СМ=1/2АВ=6 см Ответ: 6 см ?

3. Угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) равен 40°. Найдите угол между высотами, проведенными из вершин А и С. А В С // \\ 40° О К М Решение: Рассмотрим четырехугольник КВМО. <К+ <В+ <М+ <О=360° <О=360°-(40°+90°+90°)=140° Ответ:140° ?

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус окружности, описанного около него, равен 5 см, а один из катетов – 6 см (в см ²). А В С О 5 см 6 см Решение: Т.К. окружность описывает прямоугольный треугольник, то АВ=2R=10 см. Найдем АС по т.П. АС²=АВ²-ВС² АС²= АС²=64 АС=8 см, SΔ=1/2 ·ВС ·АС=1/2 ·6 ·8=24 см. Ответ:24 см

5. В треугольнике АВС углы А и С равны и каждый из них в два раза больше угла В (см. рисунок). Найдите градусную меру угла ВСN. Решение: Угол ВСN- внешний. <BCN= <A+ <B. Найдем величины углов треугольника АВС Х+2 х+2 х=180° 5 х=180° Х=180/5 Х=36°- <В, 72°- <А= <С, <ВСN=36°+72°=108° Ответ: 108° ?

6. Стороны треугольника, одна из которых вдвое больше другой, образуют угол 120°, а длина третьей стороны равна 37. Найдите наименьшую сторону треугольника х 2 х Решение: Составим теорему косинусов: АС²=АВ ²+ВС ²-2АВ · ВС · cos120° (37) ²=х ²+(2 х) ²-2·х ·2 х ·cos(180°- 60°) 63=х²+4 х²+4 х² ·cos60° 63=5 х²+4 х² ·0,5 7 х ²=63 х ²=9 х=3 А В С Ответ: 3

7. Стороны треугольника, одна из которых на 8 см больше другой, образуют угол 120°, а длина третьей стороны равна 28 см. Найдите периметр треугольника (в см). А В С х х+8 120° 28 см Решение: По т.косинусов: 28²=х²+(х+8)²-2 ·х ·(х+8)cos120° 784=х²+х²+16 х+64-(2 х²+16 х)cos(180°- 60°) 784=2 х²+16 х+64+(2 х²+16 х)cos60° 784=2 х²+16 х+64+(2 х²+16 х)0,5 784=2 х²+16 х+64+х²+8 х 3 х²+24 х-720=0 /:3 х²+8 х-240=0 х=12 см,Р=12+(12+8)+28=60 см Ответ:60 см

8. Измерить расстояние между точками А и В. Для нахождения расстояния АВ измерили расстояния от точек А и В до некоторой точки С и измерили угол АСВ. Вычислите расстояние АВ (в м), если получили такие результаты измерений: АС = 30 м, ВС = 50 м, < АСВ = 120°. Ответ:70 м² ?

9. Вычислите отношение площадей треугольников АDE и АВС, если площадь одной клеточки равняется 1. А ВС ЕD Решение: SΔАВС=1/2 ·ВС ·h=1/2 ·3 ·3=4,5 SΔАЕD=1/2·ЕD ·h=1/2 ·1 ·2=1 SΔАЕD/ SΔАВС=1/4,5=2/9 Ответ:2/9

10. Площадь равностороннего треугольника равна 163. Найдите высоту этого треугольника. АВ С М Решение: SΔ=1/2·а·в·sinA 163=1/2a²sin60° a²=64 a=8 см-сторона треугольника. sin60°=CM/AC 3 =CM ; 2 8 CM=4 3 Ответ:4 3 ?

11. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, - 5 см. Найдите гипотенузу треугольника (в см). lll A B C M 6 см Решение: 1. Рассмотрим ΔМВС СМ=3 см, ВМ=5 см.Найдем ВС по т. П. ВС²=ВМ²-СМ² ВС²=25-9=16 ВС=4 см. 2. Рассмотрим ΔАВС ВС=4 см, СА=6 см.Найдем ВА по т. П. ВА²=ВС²+СА² ВА²=16+36=52 ВА=213 см Ответ:ВА=213 см ?

1. Найдите отношение площадей правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, если их стороны равны. а а Решение: 1. S = а²; 2. S =1/2 pr; Р=6 а/2=3 а;r=а/23; S=3a·a = a ² S= а²: a ² 3 = Ответ: 2 3 3

2. В прямоугольнике АВСD прямые m и n проходят через точку пересечения диагоналей. Площадь фигуры, составленной из трёх закрашенных треугольников, равна 12. Вычислите площадь прямоугольника АВСD. О Решение: 1. S ΔАВО=S ΔDOC= B ΔDAC DO-медиана (делит треугольник на два равновеликих ). S ΔАDO= S ΔDOC=12, S ΔАDO= S ΔBCO= S ABCD=12·4=48 Ответ:48

Ответ: В прямоугольнике АВСD из вершины А проведена биспектриса, пересекающая диагональ ВD в точке К, а сторону ВС - в точке М, причём ВМ : МС = 5:2. Найдите отношение ВК : КD. А В С D K M52 Решение: ΔВМК~ ΔАКD(по двум углам). ВС=АD=7. k=5/7. BK 5 KD 7 =

4. Как изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 50 %, а ширину увеличить в 2 раза. А В С D Решение: S1=ab; 50% от а=0,5 а; a-0,5a=0,5a S2=0,5 а·2b=ab Ответ: площадь не изменится

5.Биссектриса, проведенная из вершины прямоугольника, делит его диагональ на отрезки 15 см и 20 см. Определите площадь прямоугольника, в см². 15 см 20 см А ВС D O N Решение: ΔВОN~ ΔAOD(по двум углам), k=BO/OD=15/20=0,75. BN=0,75x, AD=x. ΔABN-равнобедренный AB=BN=0,75x Составим т. П. BD²=AB²+AD², (BD=15+20=35 см) 35²=(0,75 х) ²+х² 1225=1,5625 х² х²=1225/1,5625 х²=784 х=28 см-АD; 28·0,75=21см- АВ. Sпрям.=28·21=588 см² Ответ:588 см²

6. Дан квадрат АВСD c периметром 8 см.Угол АКP равен 30°.Найти периметр четырехугольника MNKP. А ВС D M N K P || 30° Решение: Т.К.Р =8 см, то АВ=ВС=СD=DA=2см. В ΔАРК <АКР=30° АР=1/2РК. Пусть АР= х см, тогда РК=2 х см, АК= 2-х см. Составим т.П. (2 х)²= х²+(2-х)² 4 х²= х²+4-4 х+х² 2 х² +4 х-4=0 х²+2 х-2=0 D=4+8=12; x=(-2-23)/2- не удов. х=(-2+23)/2=-1+3 см-АР, РК=-2+23 см. Р МNRP =4(-2+23)=-8+83 см. Ответ: см

1. Площадь параллелограмма АВСD равна 12. Точка K лежит на прямой СD. Найдите площадь треугольника АBK. Решение: S ABCD=AB·h=12, S ΔABK=1/2AB·h=6 Ответ:6

2. В ромбе АВСD сумма углов А и С равна 180°. Найдите градусную меру угла В. А В С D ? Решение: <А= <С=180°/2=90°, (противоположные углы параллелограмма). <А+ <В=180°(односторонние углы), <В=180°- <А=180°-90°=90 ° Ответ: 90 °

3. В ромбе АВСD найдите тупой угол С, если известно, что биспектриса угла АВD образует со стороной ВЕD угол 150°. ? А В С D E 150° Решение: Пусть <АВЕ= х°,тогда <В=4 х°, <А=180°-4 х. <ВЕD= <A+ <ABE=150°. 180°-4 х+х=150° 180°-3 х=150° х=10°- <ABE= <DBE. <С= <A=180°-40°=140° Ответ: 140°

4. В параллелограмме АВСD стороны равны 8 см и 10 см.Из точки В к сторонам проведены высоты. Большая из них равна 8 см. Найти меньшую высоту. А В С D E F 8 см 10 см 8 см ? Решение: 1) АD=ВС=8 см. S ABCD=8·8=64 см ². 2) АВ=DC=10 см. S ABCD=10·BF=64 BF=64/10=6,4 см. Ответ: 6,4 см

5. Найдите площадь параллелограмма (в см² ), если его стороны относятся как 8:19, а диагонали равны 30 см и 50 см. А ВС D 30см 50 см 8x 19x Решение: 1. Составим т.косинусов для ΔАВD и ΔАВС. 900=64 х²+361 х²-304 х cosA; 2500= 64 х²+361 х²-304 х cos(180°-<A) 900= 64 х²+361 х²-304 х cosA 2500= 64 х²+361 х²+304 х cosA; =850x² x²=4 x=2. Тогда АВ=8·2=16 см, АD=19·2=38см. 2. По формуле Герона найдем площадь ΔАВD Р=( )/2=42- полупериметр S=42(42-30)(42-38)(42-16) S=6·7·2·6·4·2·13=24 91, Sпарал.=4891 { { Ответ: 4891

6. Периметр параллелограмма равен 90 см,а острый угол 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма. 60° 1 3 А ВС D Решение: Т.к. Р=90 см, то АВ+AD=45 см, <А+<D=180°(односторонние), то <D=180°-60°=120°. ВD делит угол в отношении 1:3,значит х+3 х=120 ° х=120°/4 х=30° <В=90°( в прямоугольном Треугольнике против угла в 30° лежит Катет, равный половине гипотенузы). АВ= х см, АD=2 х см, т.е. х+2 х=45 х=45/3 х=15 см- АВ и CD, 30 см- ВС и АD Ответ:15 см, 30 см

1. В равнобедренной трапеции диагональ является биспектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиною 6 см и 12 см. Вычислите периметр трапеции, в см ) ) 612 А ВС D N M Решение: Т.к. MN-средняя линия, то ВС=12 см, АD=24 см. ΔАВС- равнобедренный (АС-биспектриса) АВ=ВС=12 см.CD=AB=12 см. Ртрап.= =60 см Ответ:60 см

2. В прямоугольной трапеции АВСD острый угол А=45°. Высота ВЕ делит большее основание на равные части. Меньшее основание равно 5 см. Найдите площадь трапеции. 45° А В С D E // 5 см Решение: S АВСD=1/2(AD+BC)·BE ED=BC=5 см. AE=ED=5 см. ΔАВЕ- прямоугольный, равнобедренный, АЕ=ВЕ=5 см. АD=10 см. S АВСD=1/2(5+10)·5=37,5 см² Ответ: 37,5 см²

3. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции. А) Б) А ВС D O Решение: Из точки О проведем радиусы к вершинам трапеции. АО=ВО=СО=DO=R=25, 1)в ΔВОН по т. П.найдем ОН ОН²=25²-7², (ВН=1/2ВС, т.к. Δ-равнобедренный), ОН²=625-49=576 ОН=24. 2) в ΔОАК по т. П. найдем ОК ОК²=ОА²-АК², (АК=1/2АD, т.к. ΔАОD-равнобедренный), ОК²=25²-20²= ОК²= =225 ОК=15. 3) КН=ОН-ОК=24-15=9. H К Случай Б) выполнить самостоятельно Ответ: 9 и 39

4. Основания трапеции равны 6 и 10 см, а боковые стороны 2 и 4. Биссектрисы углов при одной боковой стороне пересекаются в точке А, а при другой - в точке В. Найдите длину АВ. 6 см 10 см А В С D E R 24 О Решение: 1)Рассмотрим ΔЕRO- равнобедренный(ЕО- биспектр.) ER=RO=2; 2) ΔOCD- равнобедренный (DO1-биспектр.).СО=СD=4; Из 1) и 2) О RC,O1 RC и О совпад. О1. 3) RA,CB-медианы АВ- сред.линия. АВ=5 см ЭЭ Ответ:5 см

5. Острый угол равнобедренной трапеции 60°,а основания относятся как 1:2. Найти большее основание трапеции, если её периметр равен ° А ВС DС1В1 Решение: Опустим высоты из вершин В и С. В1А=С1D=(2 х- х)/2=х/2. ΔВ1ВА-прямоугольный, <В=30° АВ= х, Т.к. трапеция равнобедренная, то СD=x. Составим уравнение: Х+х+х+2 х=50 5 х=50 Х=10 –АВ=ВС=СD. АD=20 Ответ: 20

О 1. Угол ВЕА равен 74°найти вписанный угол АСВ. А В С Е Решение: Сумма углов четырехугольника ЕАОВ равна 360°. <ОАЕ= <ОВЕ=90° (радиусы в точки касания). <АОВ=360°-90°-90°-74°=106° <АСВ- вписанный, <АСВ=1/2 <АОВ=53° 74° Ответ : <АСВ=53°

2. Найти площадь закрашенной части круга, радиус которой равен ° О Решение: S кр. = ПR² S сек. = ПR² ·α 360° S сек. = П · 12²·(360°-120°) 360° S сек.=144П·2/3=96П Ответ: 96П

3. Угол АОС равен 126°.Найти угол АВС. О А В С 126° ? Решение: <В- вписанный <В=1/2 <АОС=1/2( )=117° Ответ: 117°

4. Точка В-точка касания, дуга ВК=58°.Найти углы А,В,С. А В С О К Решение: 1)<А=<ВОК/2=58°/2=29° (вписанный угол равен половине центрального угла). 2) <А= <АВО=29°(Δ АВО- равнобедренный). <В=29°+90°=119° (радиус ОВ касательной). 3) <С=180°-29°-119°=32° 58° Ответ: <А=29°;<В=119°,<С=32°

5. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию треугольника, на отрезки длиною 4 см и 5 см, если считать от основания. Найдите периметр треугольника. АВ С МН Т 4 5 О Решение: Из точки О проведем радиусы ОТ,ОМ, ОН=4. 1) В ΔСОН <Н=90°, СО=5, ОН=4 НС=3, По свойству касательных СН=СМ=3. 2) ΔСОН ~ ΔСТВ (<ОСН- общий, <Н=<Т=90°, проведен радиус в точку касания). ТВ ТС ; ТВ 9 ;ТВ=12 см, ОН СН 4 3 ТВ=ВН=12 (отрезки касательных), АТ=АМ=12(ΔАВС- равнобедренный), Р ΔАВС= =54 см Ответ: 54 см

6. Величина дуги ВК равна 40°, а дуги АМ равна 100°.Найти углы АВМ,ВМС,ВСМ. А В С К М О ? ? ? Решение: <ВМС=1/2 <ВОК=20°(вписанный), <АВМ=1/2 <АОМ=50°(вписанный), <АВМ= <ВМС+ <ВСМ(внешний), <ВСМ=50°-20°=30° Ответ: 50 °,20 °,30 °.

9. В окружность вписан правильный четырехугольник. Радиус окружности равен 5. Найти сторону этого четырехугольника и радиус вписанной в него окружности. A BC D O 5 r Решение: R 4 =a/2=5; a 4 =5 2; r 4 =a/2=2,52; Ответ: 2,52

8. В окружность вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти радиус этой окружности, сторону шестиугольника и сторону треугольника АСЕ, если радиус вписанной в треугольник окружности равен 2. А В СD E F 2 O Решение: R 3 = a = 2; a 3 =43; 2 3 R 3 = a = 43 = 4; 3 3 Ответ: 4

7. Найти площадь правильного вписанного в окружность шестиугольника ABCDEF и радиус этой окружности, если АЕ равен А В С D E F O Решение: 1)<ОАЕ=30° (ЕD=1/2АD). tg <ОАЕ= DE/AE; tg30° ED ED=2 R=2; 2) S6=p · r; R6=2; a6=R6=2; r6=a3; 2 r6= 3; S= 63 · == = Ответ: 9; 2

htm