Иррациональные уравнггггения Урок алгебры и начал анализа 11 класс Учитель: Вязовченко Н.К. © Vyazovchenko N.K. 2010

Цели урока Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений. Ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решений. Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес. Развивать умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия, развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес. Содействовать формированию мировоззренческих понятий. Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Устная работа

Упростить выражение: Упростить выражение:

Устная работа Решите уравнггггения: а) б) в) г) д)

Определение Иррациональными называются уравнггггения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведггггения в дробную степень. Иррациональными называются уравнггггения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведггггения в дробную степень.

Устно: Какие из следующих уравнений являются иррациональными? а) х + х = 2 б) х + х = 0 а) х + х = 2 б) х + х = 0 в) х 7 = 11+ х г) у ² = 4 в) х 7 = 11+ х г) у ² = 4 д) у + у ²+9 = 2 е ) х – 1 = 3 д) у + у ²+9 = 2 е ) х – 1 = 3

Посторонние корни Основными причинами появлггггения посторонних корней является возведение обеих частей уравнггггения в одну и ту же чётную степень, расширение области определггггения и др. Основными причинами появлггггения посторонних корней является возведение обеих частей уравнггггения в одну и ту же чётную степень, расширение области определггггения и др. По этим причинам необходимой частью решггггения иррационального уравнггггения является проверка, либо использование области определггггения заданного уравнггггения. По этим причинам необходимой частью решггггения иррационального уравнггггения является проверка, либо использование области определггггения заданного уравнггггения.

Метод возведггггения обеих частей уравнггггения в одну и ту же степень 1. Преобразовать обе части уравнггггения к виду 2. Возвести обе части в n-ую степень 3. Учитывая, что получаем: 4. Решить полученное уравнение и выполнить проверку (или ОДЗ)

Примеры

Если квадратных корней в иррациональном уравнении много, то приходится возводить в квадрат несколько раз:

Проверка

Метод замены переменной 1. Ввести новую переменную 2. Решить уравнение, отбросить посторонние корни 3. Вернуться к первоначальному неизвестному

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнггггения. Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнггггения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример Пусть тогда исходное уравнение примет вид: у 1 = -7, у 2 = 6

Решая уравнение получим: Ответ: х = 3; х = - 4,5 х = 3, х = - 4,5

В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррационального уравнггггения, не прибегая к преобразованиям. В некоторых случаях можно сделать вывод о решении иррационального уравнггггения, не прибегая к преобразованиям. Например, уравнггггения Например, уравнггггения не имеют решггггения. не имеют решггггения.

Метод пристального взгляда Этот метод основан на следующем теоретическом положении: Если функция возрастает в области определггггения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение. возрастает в области определггггения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение. Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется: Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. Записать область определггггения данной функции. Записать область определггггения данной функции. Доказать ее монотонность в области определггггения. Доказать ее монотонность в области определггггения. Угадать корень уравнггггения. Угадать корень уравнггггения. Обосновать, что других корней нет. Обосновать, что других корней нет. Записать ответ. Записать ответ.

Пример 1 Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражггггения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной х Очевидно, что левая часть уравнггггения не существует ни при одном значении неизвестного х. Таким образом, вопрос о решении уравнггггения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложггггения в левой части уравнггггения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного х.

Пример 2 Рассмотрим функцию Найдем область определггггения данной функции: Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при, а далее только возрастать. Число 5 принадлежит области значггггения, следовательно, согласно утверждению Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнггггения.

Решение упражнений 417 (а, б), 417 (а, б), 418 (а, б), 419 (а, б), 419 (а, б), 422 (а, б)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ п (в, г), 417 (в, г), 418 (в, г) 419 (в, г), 419 (в, г), 422 (в, г)

Итоги урока

Рефлексия Ваше настроение Ваше настроение

Использованные ресурсы Алгебра и начала анализа: Учеб. для кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, Алгебра и начала анализа: Учеб. для кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, Досье школьного учителя математики Досье школьного учителя математики ггггения ггггения ггггения ггггения Иррациональные уравнггггения Иррациональные уравнггггения