Чотирикутники Підсумковий урок по теміЧотирикутники вчитель математики Золотоношківської ЗОШ І-ІІІ ступенів Драбівського району, Черкаської області Мануйленко Аркадій Георгійович

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок (вершин чотирикутника) А В D C вершини А і В, А і D, В і С, С і D – сусідні; вершини А і С, В і D – протилежні; АВ і ВС, ВС і СD, СD і АD, АD і АВ – сусідні сторони; АD і ВС, СD і АВ – протилежні сторони. Означення чотирикутника і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають ( сторони чотирикутника) ( сторони чотирикутника)

А В D C Діагоналлю чотирикутника називається відрізок, що сполучає дві протилежні вершини Периметром прямокутника називається сума усіх його сторін Означення чотирикутника AC і ВD - діагоналі Р АВСD = AB+BC+CD+AD

Опуклі чотирикутники. Сума кутів опуклого чотирикутника Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону B A C D A B D C опуклий опуклий неопуклий неопуклий

Сума кутів опуклого чотирикутника Кутом (внутрішнім кутом) опуклого чотирикутника при даній вершині називається кут, утворений сусідніми сторонами, що виходять із цієї вершини A В D C Теорема (про суму кутів чотирикутника ) Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° Доведення У даному чотирикутнику проведемо діагональ. Утворилося 2 трикутника. Оскільки ВАD= ВАС+ DAC, ВСD= АСВ+ ACD, то сума кутів чотирикутника ABCD дорівнює сумі всіх кутів трикутників ABC і ADC, тобто дорівнює 360° Теорему доведено.

Паралелограм і його властивості. Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. Доведемо, що чотирикутник KLMN – паралелограм K L N M З рівності трикутників KLM і MNK випливає рівність кутів 1= 2, і 3= 4 Означення паралелограма Висотою паралелограма називається перпендикуляр, проведений з точки однієї сторони до прямої, що містить протилежну сторону. Кути 1 і 2 є внутрішніми різносторонніми при прямих KL і MN та січній КМ. Аналогічно кути 3 і 4 є внутрішніми різносторонніми при прямих LM і KN та січній КМ. За ознакою паралельності прямих маємо: KLMN, LMKN. Отже в чотирикутнику KLMN протилежні сторони попарно паралельні, тобто KLMN – паралелограм за означенням

Паралелограм і його властивості. А В D C Теорема (властивості паралелограма) Доведення Розглянемо трикутники АВС і СDА. Властивості паралелограма У паралелограма: 1) протилежні сторони рівні; 2) протилежні кути рівні; 3) Діагоналі точкою перетину діляться пополам. У них сторона АС – спільна, 1= 3, як внутрішні різносторонні при АDВС та січній АС, 2= 4, як внутрішні різносторонні при У них сторона АС – спільна, 1= 3, як внутрішні різносторонні при АDВС та січній АС, 2= 4, як внутрішні різносторонні при АВ CD та січній АС. З рівності трикутників АВС і CDA (за ІІ ознакою) випливає, що AB=CD, AD=BC, B= D. А оскільки 1+ 2= 3+ 4, то BAD= BCD. Отже властивості 1 і 2 доведено З рівності 1= 3, 2= 4, як внутрішніх різносторонніх при ADBC і січних AC і BD, слідує рівність трикутників СОВ і COD за другою ознакою. Звідси випливає, що АО=СО, ВО=DO, тобто точка о є серединою кожної з діагоналей АС і ВD. Теорему доведено повністю.

Ознаки паралелограма А В D С А В D С Теореми про ознаки паралелограма Теореми про ознаки паралелограма А В А В О D С Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм. Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм. Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм. АВ=DС, АВDС АD=ВС, АDВС АВ=DС, АD=ВС АВ=DС, АD=ВС АО=ОС, DО=ОВ

Види паралелограмів А В D С Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі. А В D С Теорема (властивість прямокутника) Діагоналі прямокутника рівні Прямокутник Оскільки АВСD є окремим випадком паралелограма, він має всі властивості паралелограма: АВ=DС і АD=ВС, АВDС і АКВС, А= С і В= К АО=ОС, DО=ОВ Нехай дано АВСD. Δ АDC і Δ BСD – прямокутні, і Δ АDC= Δ BCD за двома катетами (DC спільний, АD=BC як протилежні сторони прямокутника ~ Звідси випливає рівність гіпотенуз цих трикутників, тобто АС=ВD, що й треба було довести.

Опорна задача А В D С Нехай у чотирикутнику АВСD А= В= С= D=90º. Кути А і В є внутрішніми односторонніми при прямих АD і ВС та січній АВ. Якщо всі кути чотирикутника прямі, то цей чотирикутник – прямокутник. Доведіть Оскільки сума цих кутів становить 180º, То за ознакою паралельності прямих АDBC. Аналогічно доводимо паралельність сторін АВ і СD. Отже, за означенням паралелограма АВСD – паралелограм. А оскільки всі кути паралелограма прямі, то АВСD – паралелограм.

Види паралелограмів В А С D Ромбом – називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. Нехай діагоналі ромба перетинаються в точці О. Ромб Ромб Теорема (властивості ромба) Діагоналі ромба перпендикулярні й ділять й ділять його кути навпіл. Оскільки сторони ромба рівні, то Δ АВС рівнобед- ренний з основою АС, а за властивістю діагоналей паралелограма точка О – середина АС. Отже ВО – медіана рівнобедреного трикутника, Яка водночас є його висотою і бісектрисою. Це означає, що ВD АС, тобто діагоналі ромба перпен- дикулярні, і АВD = СВD, тобто ВD – бісектриса кута АВС. Аналогічно доводимо, що діагоналі є і Бісектрисами й інших його кутів

Види паралелограмів А В D С Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні Інакше можна сказати, що квадрат – це прямокутник, який є ромбом. Дійсно, оскільки квадрат є прямокутником і ромбом і, звісно ж, довільним паралелограмом, то: 1) Усі сторони квадрата рівні; Квадрат АВ=ВС=СD=АD 2) Усі кути квадрата прямі; 3) Діагоналі квадрата рівні, перпендикулярні, є бісектрисами його кутів і діляться точкою перетину навпіл.

Зв ׳ язок між окремими видами паралелограмів. Рівносильні твердження. паралелограми квадрати За означеннями довільного паралелограма і його окремих видів ми можемо схематично зобразити зв׳язок між ними прямокутники ромби Означення, які описують одну і ту ж фігуру називаються – рівносильними. - квадратом називається ромб із прямими кутами; - прямокутником називається паралелограм із рівними діагоналями.

Трапеція А В D C Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні. А D Сума кутів, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180 º Означення трапеції Паралельні сторони АВ і СD називаються Паралельні сторони АВ і СD називаються основами трапеції. основами трапеції. Непаралельні сторони АD і ВС називаються бічними сторонами трапеції. А+ D=180º А+ D=180º В+ С=180º В+ С=180º В С Висотою трапеції називається перпендикуляр, проведений з точки однієї основи до прямої, яка містить іншу основу.

Трапеція А В D C Прямокутною трапецією називається трапеція, у якій одна із сторін перпендикулярна до основ K L M N Рівнобедреною трапецією називається трапеція, у якій бічні сторони рівні Окремі види трапецій АD AB, AD DC KM=LN

Трапеція Теорема (властивість рівнобічної трапеції) У рівнобічній трапеції кути при основі рівні Нехай ABCD – дана трапеція, ADBC, AB=CD. Проведемо висоти ВК і CL з вершини тупих кутів і розглянемо прямокутні Трикутники АВК і DCL. B C A D B= C B= C A= D A= D У них АВ=CD як бічні сторони рівнобедреної трапеції, ВК=СL як відстані між паралельними прямими АD і ВС. Отже, Δ АВК= Δ DCL за гіпотенузою і катетом. Звідси випливає, що А= D. Кути трапеції В і С також рівні, оскільки кожний із кутів доповнює до 180° кут при більшій основі. Теорему доведено. K L K L Має місце також обернене твердження ( ознака рівнобедреної трапеції ): Якщо у трапеції кути при основі рівні, то така трапеція рівнобедрена.