XIV районная научно - практическая конференция молодых исследователей « Юность - будущему » Исследовательская работа « Отбор корней в тригонометрических уравнениях и системах » Авторы : ученицы 10 а класса МБОУ « СОШ 3» Касимцева Надежда и Назарова Оксана

Объект исследования : тригонометрические уравнения и их системы. Предмет исследования : способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и системах. Цель работы : Изучить различные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и системах. Задачи : рассмотреть различные типы заданий, содержащие тригонометрические уравнения и системы уравнений, где необходимо выполнить отбор корней, классифицировать их ; определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий ; рассмотреть примеры решения уравнений и систем уравнений, где необходимо выполнить отбор корней ; составить методические рекомендации для решения уравнений и подобрать уравнения из вариантов ЕГЭ.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях Арифметический способ : перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней. Алгебраический способ : решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней. Геометрический способ : - изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений ; - изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений. Функционально - графический способ.

уравнения, в которых одна серия корней входит в другую; уравнения, в которых надо найти число корней, принадлежащих данному промежутку; уравнения, в которых надо отобрать корни, удовлетворяющие условиям; (корни уравнения принадлежат промежутку или удовлетворяют неравенству); уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений переменной уравнения; уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений уравнения и дополнительным условием; системы уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений уравнения.

Пример 1. Решить уравнение: cos x cos 5x = 0. Решение. k,nk,n Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометрического уравнения

Ответ: ; n

Пример 2. Найдите все решения уравнения: sin 2x = cos x, принадлежащие промежутку. Решение. cos x(2sin x - 1) = 0 cos x = 0 или sin x = x =, n Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям ( корни уравнения принадлежат промежутку )

Отбор корней. 1) Если n=0, то x =, принадлежит. Если n=1, то x =, не принадлежит. Если n= -1, то x =, принадлежит. Если n= -2, то x = не принадлежит. 2) Если n=0, то x =, принадлежит ; или x =, не принадлежит. Если n= -1, то x =, не принадлежит ; или x=, не принадлежит. Ответ:,,. 5

Пример 3. Найдите все решения уравнения, принадлежащие отрезку [1;2]. Решение. cos 4x + cos 6x = 0 2cos 5x cos x=0 или k + = 1

Отбор корней. Решим двойное неравенство: 1 Так как, и k, то k=2. и k, то k=2. Тогда x =. Ответ:. =

Пример 4. Решить уравнение: | cos x | = sin x. Решение. 1) cos x 2) cos x, Уравнения, содержащие модуль Уравнения, в которых надо отобрать корни, удовлетворяющие условиям (корни уравнения удовлетворяют неравенству)

Отбор корней. Ответ:.

Пример 4. Решить уравнение: Решение. cos x ( cos x – 1) = 0 cos x = 0 или cos x = 1 n, k О.Д.З. Уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений уравнения

Отбор корней. Ответ:, 2, n,k

Решить уравнение Решение. О.Д.З. tgx > 1 Отбор корней. Выполним отбор корней с помощью графиков функций, то есть функционально- графическим способом. На промежутке, длина которого 2π, неравенству tgx>1 удовлетворяет одно число. Следовательно, удовлетворяют данному уравнению все числа вида +2πn, n Z. +2πn, n Ответ: Пример 5.

Пример 6. Укажите количество корней уравнения ctg3x sin 6x - cos6x - cos12x = 0 на промежутке [0;2π]. Решение. ctg3x sin 6x - cos6x - cos12x = 0, sin 3x(1 – cos 12x)=0 или 1 – cos 12x = 0 n,k О.Д.З. Уравнения, в которых необходимо выполнить отбор корней в соответствии с областью допустимых значений уравнения и дополнительным условием

Отбор корней : Ответ: 6.

Пример 7. Дано уравнение tg 2 x + tgx + 6= 0. а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; ]. О.Д.З.: Решение. t 2 + 5t + 6 =0 t = -3 или t = -2 tgx = -3 или tgx = -2 x = - arctg3 +πk, k x = - arctg2 +πn, n Ответ:

Пример 8. Решите систему уравнений Решение. 1)Решим первое уравнение системы. О.Д.З y >0 sin x = t, где 1 t 1. t 1 =1, t 2 = sin x =1 или sin x = n Z. Системы тригонометрических уравнений

2) Решим второе уравнение системы. Так как y > 0, то.

3) Отбор корней. Отсюда,

Вернемся к системе Ответ:,,

Выводы В своей работе мы рассмотрели различные типы заданий, содержащие тригонометрические уравнения и системы уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Проведя анализ заданий, мы классифицировали их определили наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий. Иногда уместно отобрать корни разными способами, чтобы твёрдо знать, что отбор выполнен верно. Работа нашла своё применение и на уроках математики. Своими « находками » мы поделились с одноклассниками, составив методические рекомендации для решения уравнений.

Рекомендации Арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях : Заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям ; Серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций ; Требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям. Во всех этих случаях удобен алгебраический способ отбора корней. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 π, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными. При отборе корней, если есть О. Д. З., необходимо выполнить сначала отбор по О. Д. З. а затем по дополнительному условию.

Рекомендации Арифметический способ самый простой, но он становится не эффективным в следующих случаях: -заданные ограничения охватывают большой промежуток, и последовательный перебор значений приводит к громоздким вычислениям; -серии решений содержат нетабличные значения обратных тригонометрических функций; -требуется определить количество корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям. Во всех случаях, перечисленных выше, удобен алгебраический способ отбора корней. Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2π, или в случае, когда значения обратных тригонометрических функций, входящих в серию решений, не являются табличными. При отборе корней, если есть О. Д. З., необходимо выполнить сначала отбор по О. Д. З. а затем по условию к уравнению.