Числовые неравенства и их свойства Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Между числами поставить знак >, < или = : > > > > > > < < =

Заполнить таблицу: Значение m - n a² + 4a² 9 Срав нение m и n m < nm = nm > nm < n m > n m < nm = n Неравенствоа < b а > b означает, что разность ab<0 Неравенствоозначает, что разность ab>0 Определение. Число а больше числа b, если разность a b положительна. Число а меньше числа b, если разность a b отрицательна

Сравнить числа а и b значит выяснить, какой из знаков >, < или = нужно поставить между этими числами, чтобы получилось верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разности a b. С помощью определения числового неравенства сравнить числа: Решение. Заметим, что ______; _____ 0,53 = _____; так как то 0,44 0,09 < <

Доказать, что, если m > 1. Доказательство. Разность так как числитель дроби ________________ число и знаменатель этой дроби __________________число (по условию m >1). Следовательно, > положительное положительное__

Рассмотрим свойства числовых неравенств, которые часто используются при доказательстве других свойств неравенств и при решении многих задач. Теорема 1. Если а > b, и b > c, то a > c. По условию а > b, и b > c. Это означает, что a b>0 и b c > 0. Сложим положительные числа a b и b c, получим (a b ) + (b c) = а c положительное число, т. е. а c > 0. А это означает, что a > c.

Теорема 2. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Пусть а > b. Требуется доказать, что а + с > b + c для любого числа с. Рассмотрим разность ( а+с) (b+c) = а + сbc = = а b. Эта разность положительна, так как по условию а > b. Следовательно, а + с > b + c.

Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный. Пусть а > b + c. Прибавим к обеим частям этого неравенства число с Получим а с > b + c с, т. е. а с > b. Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Блиц - опрос. Умножить обе части неравенства на указанное число 1) 3,3 < 4,5 на 4 13,2 < 18 5) 2,1> 4,5 на 2 4) 1,8 < 2,5 на 4 2) 3,3 < 1,5 на 3 3) 3,2 > 1,5 на 2 9,9 > 4,5 6,4 < 3 7,2 > 10 4,2 > 9

Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Блиц - опрос. Разделить обе части неравенства на указанное число 1) 2 < 5 на 2 2) 25 > 50 на 5 3) 20< 15 на 2 4) 24 > 48 на 6

5) 16a < 32 на 16 8) 15x > 30 на 15 6) 2a > 14 на 2 7) 12a > 24 на 12 9) 0,2x > 14 на 0,210) x > 14 на 1 10) x > 8 на 1 11) x<15 на 1

Проверочная работа Вариант 1 Вариант 2 1)Поставьте вместо пропуска знак > или <, если верны данные неравенства: < > << > < > <

2) Поставьте вместо пропуска знак > или < так, чтобы получилось верное неравенство, если a > 2; b < 3. >< > < < >