Проектна робота з теми: Системи рівнянь з параметрами Проектна робота з теми: Системи рівнянь з параметрами Виконала учениця 11 х/б класу Педан Поліна Керівник проекту: Вчитель математики вищої категорії Шкаран Ніна Іванівна

Мета проекту: Сформувати вміння та навички розвязувати системи двох рівнянь з двома змінними з параметрами; розвивати інтерес, творчі здібності та інтуїцію учнів, вміння застосовувати набуті знання в нових ситуаціях, виховувати зібраність, працьовитість, охайність, організованість, графічну та математичну культуру. Завдання з параметрами вважаються важними для розуміння і засвоєння учнями. Але Задачі з параметрами традиційно входять до завдань ДПА та ЗНО з математики. Проектна робота пропонує системи рівнянь з параметрами, і має за мету допомогти учням 9 класу чітко і логічно застосовувати математичні твердження, знаходити неординарні методи їх розвязування.

... у 1) х+у=6 - пряма х ²+ у ² = а - коло х ²+ у ² = а - коло Відповідь: 1) якщо r кола <18, то розвязків немає; 2) якщо r кола=18, то розвязок 1; 2) якщо r кола=18, то розвязок 1; 3) якщо r кола>18, то розвязків 2; 3) якщо r кола>18, то розвязків 2;. 6 6 F О А В х Для кожного значення параметра а знайдіть кількість розвязків системи рівнянь І. Будуємо графік першого рівняння:І. Будуємо графік першого рівняння: Отримуємо прямокутній рівнобедрений трикутник з катетами по 6;Отримуємо прямокутній рівнобедрений трикутник з катетами по 6; ІІ. Розглянемо розміщення кола відносно його радіуса - а;ІІ. Розглянемо розміщення кола відносно його радіуса - а; Якщо коло дотикається до прямої, то його радіус при цьому дорівнює висоті, а за даними цей трикутник прямокутній, то за його властивостями медіана дорівнює половині гіпотенузи => за теоремою Піфагора - АВ²=6²+6², АВ=62 і а=OF=АВ=2/2=32,Якщо коло дотикається до прямої, то його радіус при цьому дорівнює висоті, а за даними цей трикутник прямокутній, то за його властивостями медіана дорівнює половині гіпотенузи => за теоремою Піфагора - АВ²=6²+6², АВ=62 і а=OF=1/2АВ=62/2=32, а=18, а=18, тобто радіус кола дорівнює 18, звідси:а=18, а=18, тобто радіус кола дорівнює 18, звідси:

Задача 2 х – у = 4, х ²+ у ² =а Якщо а0, то система розв'язків не має. Розглянемо випадок, коли а>0. Графік першого рівняння – пряма, графік другого – коло з центром у початку координат і радіусом а. Якщо коло дотикається до прямої, система має єдиний розв'язок. Радіус кола при цьому – висота рівнобедреного прямокутного трикутника АОВ з катетом 4. Отже, а = АВ/2= 22, а=8. Відповідь: при а<8 система розв'язків не має; при а=8 система має один розв'язок; при а=8 система має один розв'язок; при а>8 система має два розв'язки. при а>8 система має два розв'язки. А 4 -4 В О у х

При яких значеннях параметра а система має три розвязки: х² +(у-2)²= 1 У =\х\ + а Розглянемо рівняння: Графік першого рівняння - коло з радіусом 1 з центром у точці (0;2). Графік другого рівняння - прямий кут, бісектрисою якого є вісь ординат, вершиною якого зміщується вгору або вниз, залежно від параметра а. Три точки перетину можливі лише у випадку якщо а=1. Відповідь: при а=1 система має три точки перетину у х

У = а + х 2х+у-1=0 Розвязання: Графік другого рівняння буде пряма, першого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а. Отже, побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат. Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то: якщо а є(-; 1], то система має один корінь; якщо а є(1; +),то система коренів не має. Відповідь: 1) якщо а є(-; 1], то система має один корінь, 2) якщо а є(1; +),то система 2) якщо а є(1; +),то система коренів не має. коренів не має у. 0 1 х Визначте кількість розвязків системи

3х+у-20= у =а+х Розвязання: Графік першого рівняння буде пряма, другого - вітка параболи, що знаходиться в І четверті, і буде рухатись по осі ординат відносно параметра а. Отже побудуємо графіки цих рівнянь в одній системі координат. Оскільки розміщення вітки параболи буде залежати від параметра а, то: якщо а є(-; 2], то система має один корінь; якщо а є(2; +),то система коренів не має. Відповідь: 1) якщо а є(-; 2], то система має один корінь, один корінь, 2) якщо а є(2; +),то система 2) якщо а є(2; +),то система коренів не має. коренів не має у. 2 0 х 2. 6.

Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь не має розвязку:..... B ׀х ׀+ ׀у ׀= 1 ׀х ׀ + ׀у ׀= 1 х² + у²а х² + у²=а Розв'язання Якщо а0, то система розвязків не має. Розглянемо випадок, коли а>0: Графік першого рівняння буде квадрат ABCD довжиною сторони 2 і діагоналлю 2. Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом а, а>0. Система не має розв'язків, якщо коло і квадрат не мають спільних точок (див. рисунок). У першому випадку а>1, а>1, у другому - а 1, а>1, у другому - а< 1/2, а<1/2. Відповідь: при а 1. C A D у х 1

... уа у=а у=׀х²-6 ׀х׀+8 ׀ Графіком першого рівняння буде пряма паралельна осі х; Графіком другого рівняння буде парабола,зміщена на три одиниці вправо по осі х та на одиницю вниз по осі у, і відображена відносно осі у та х по модулю. Тобто: у= | x²-6\х\+8\->у=(\x\-2)(\x\-4)\- >y=\(\x\-3)²-1\ Отже при а<0, розвязків немає; при а=0, 4 розвязки; при 0<а<1, 8 розвязків; при а=1, 6 розвязків; при 1<а<8, 4 розвязки; при а=8, 3 розвязки; при а>8, 2 розвязки. 1 Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має розвязки: уа у=а y=\(\x\-3)²-1\ у х. 3..

Знайдіть кількість розвязків відносно параметра а:..... ׀х ׀+ ׀у ׀= 1 ׀х ׀ + ׀у ׀= 1 х²+у²а² х²+у²=а² Якщо а0, то система розвязків не має. Розглянемо випадок, коли а>0: Графік першого рівняння буде квадрат ABCD з довжиною сторони 2, і при перетині його з осями координат утвориться 4 прямокутних рівнобедрених трикутника, висота кожного з них дорівнює радіусу вписаного кола ( якщо б коло дотикалось до сторони квадрата ), то знайдемо довжину радіуса кола, при дотику, або висоту трикутника: х²+у²=а²=> х²+у²=r²=> r²=а²=> r²=а² => r=|a|. х²+у²=а²=> х²+у²=r²=> r²=а²=> r²=а² => r=|a|. 1. АВ²=1²+1², АВ= 2; 2. Висота і медіана у прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнює половині гіпотенузи, тому висота і медіана дорівнюють 2/2 або 1/2 ; Оскільки висота і медіана в прямокутному рівнобедреному трикутнику дорівнюють радіусу кола при дотику, то r=a=1/2; Тому маємо 5 випадків: 1) a< 1/2, немає розвязків; 1) a< 1/2, немає розвязків; 2) а= 1/2, 4 розвязки; 2) а= 1/2, 4 розвязки; 3) 1/2<a<1,8 розвязки; 3) 1/2<a<1,8 розвязки; 4) a=1, 4 розвязки; 4) a=1, 4 розвязки; 5) a>1, немає розвязків. 5) a>1, немає розвязків. х 1 C A D B у

.. Тобто якщо а<1,розвязків немає; Тобто якщо а<1,розвязків немає; якщо 1<a<2, 2 розвязки; якщо а=2, 3 розвязки; якщо а>2, 4 розвязки. 1 Знайдіть усі значення параметра а, при яких система рівнянь має розвязки: х y 1

Скільки розвязків має система відносно параметра а:... х²+у²+4х х²+у²+4х=0х²+у²-2х=а²-2а Перетворимо дані рівняння системи: Тому маємо 5 випадків: 1) a>3, немає розвязків; 1) a>3, немає розвязків; 2) а=3, 1 розвязок; 2) а=3, 1 розвязок; 3) 1<a<3,2 розвязки; 3) 1<a<3,2 розвязки; 4) a=1, 1 розвязок; 4) a=1, 1 розвязок; 5) a<1, немає розвязків. 5) a<1, немає розвязків. у х 1 2

При якому найменшому цілому додатному значенні параметра а система рівнянь х²+у²=36 у - а²х² = а не має розвязку? Перше рівняння задає коло радіусом 6 з центром в початку координат; друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору (а²0) і з вершиною в точці (0;а) Щоб система рівнянь не мала розвязку, необхідно, щоб ці два графіка були розміщенні так, як показано на рис., а найменше ціле додатне значення а=7. У Х

При якому найменшому додатному значенні параметра а система х²+у²=49 у = х² + а має єдиний розвязок? Перше рівняння задає коло радіусом 7 з центром у початку координат, друге рівняння – парабола, вітками направлена вгору. Щоб система рівнянь мала єдиний розвязок при найменшому додатному значенні а, необхідно, щоб графіки були розміщені так5, як на рис. і а=7. Відповідь: а= Х У 0

При якому найбільшому значенні параметра а система |x|+|y|=4 х² + у²= а² має чотири розвязки? Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 8. Графік другого рівняння – коло з центром у початку координат і радіусом а. Система має чотири розвязки, якщо коло описане навколо квадрату або вписане у квадрат. У першому випадку а=4, а у другому – а=r=½AB=½4²+4²=½32=22 У Х А В

При якому найменшому значенні параметра а система |x|+|y|=7 х²+ (у-а)²=49 має єдиний розвязок? Графік першого рівняння – квадрат з центром у початку координат і діагоналлю 14. Графік другого рівняння - коло з центром 7. Система рівнянь має єдиний розвязок при найменшому значенні параметра а, якщо графіки розташовані так, як на рис. і тоді а= -14. У х