Мы хорошо знаем, что при решении квадратных уравнений большую роль играет дискриминант. Но очень часто мы сталкиваемся не только с задачей о количестве корней, но и с задачей о расположении этих корней на числовой прямой. Например: Сколько корней в зависимости от значений параметра a имеет уравнение 4sin 2 x-sinx-3=a. Сделав замену sin x = t, где |t|1, мы получаем уравнение 4t 2 -t-3-a=0. Таким образом наша задача свелась к определению количества корней квадратного уравнения относительно отрезка [-1;1]. Поэтому рассмотрим более подробно вопрос о нахождении корней квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 в следующих случаях: а) оба корня (x 1 и x 2 ) меньше заданного числа М. б) оба корня (x 1 и x 2 ) больше заданного числа М. в) x 1 <M x 2 >M г) один корень принадлежит отрезку (M;N). д) оба корня принадлежат отрезку (M;N). е) и случай, когда ни один из корней не принадлежит отрезку (M;N). Для удобства рассуждений я рассматривала все эти вопросы при помощи графика квадратного трёхчлена, т.е. параболы y=ax 2 +bx+c.

Рассмотрим некоторые задачи, связанные с расположением корней квадратного трёхчлена y=ax 2 +bx+c относительно точек M и N таких, что M<N Расположение корней квадратного трехчлена

1. Оба корня меньше заданного числа M x 1 <M x 2 <M если a>0 если a<0 X1X1 X2X2 M f (M) XВXВ х X1X1 X2X2 XВXВ х M Условия, объединяющие оба графика : f (M) a>0 f (M)>0 a * f (M)>0 a<0 f (M)<0 a * f (M)>0 D0 x в <M a * f (M)>0

1. Определить, при каких значениях параметра a (x 1 =x 2 ) оба корня уравнения (а-1)x 2 +(2a-3)x+a-3=0 меньше единицы? D>0 x в <1 a * f(1)>0 D=(2a-3) 2 -4(a-1)(a-3)>0 4a-3>0 -(2a-3)/2(a-1) 3/4 (a-1)(4a-7)>0 (4a-5)/(a-1)>0 (a-1)(4a-7)>0 x1x1 x2x2 xвxв x 1 f (1) 0,75 1 1,25 11,75 Ответ: при a (0,75;1) и (1,75; ). Э 8 a a a

2. Один корень меньше, другой больше заданного числа М, т.е. x 1 M если a>0 если a<0 X1X1 X2X2 X M f (M) X1X1 X2X2 M X a>0 f (M)<0 a * f (M)<0 a<0 f (M)>0 a * f (M)<0 Условия, объединяющие оба графика : Т.к. существует точка x=M, в которой f (M)<0, то парабола f =ax2+bx+c обязательно будет иметь два различных корня. Следовательно, требование D>0 НЕОБЯЗАТЕЛЬНО!

2.Определить, при каких значениях параметра k 1 (x 2 ;x 1 ) для уравнения (k-1)x 2 +(k+4)x+k+7=0? a * f (1)<0 (k-1)(3k+10)<0 x2x2 x1x1 1 f (1) X k -10/31 Ответ: при k (-10/3;1). Э Э

3. Оба корня больше заданного числа M, x 1 >m x 2 >m если a>0 если a<0 X1X1 X2X2 XвXв f (M) M X XвXв X1X1 X2X2 X M a>0 f (M)>0 a * f (M)>0 a<0 f (M)<0 a * f (M)>0 Условия, объединяющие оба графика : D0 x В <M a * f (M)>0

3.Определить, при каких значениях параметра a оба корня уравнения (a+2)x 2 +3ax-2a=0 больше 0,5? D>0 x в >0,5 a * f (0,5)>0 D=(3a) 2 +8(a+2)a=a(17a+16). a(17a+16)>0 -3a/2(a+2)>1/2 (a+2)((a+2)/4+3a/2-2a)>0 a(17a+16)>0 (2a+1)/(a+2)<0 (a+2)(2-a)/4>0. x2x2 x1x1 xВxВ 0,5 f (0,5) X a a a -16/ / Ответ: при a (-2;-16/17). Э

4. Оба корня принадлежат промежутку (M;N) если a>0 если a<0 X1X1 X2X2 XвXв M N f (M)f (N) X X1X1 X2X2 XвXв X MN f (M) f (N) a>0 f (M)>0 a * f (M)>0 a<0 f (M)<0 a * f (M)>0 a>0 a * f (N)>0 f (N)>0 a<0 f (N)<0 Условия, объединяющие оба графика : D>0 M<x в <N a * f (M)>0 a * f (N)>0

4.Определить, при каких значениях параметра b (x 2 ;x 1 ) принадлежат промежутку (-1;1), где x 2 и x 1 – корни уравнения (b-2)x 2 +(b+3)x+b+6=0 ? D>0 -1<x в <1 a * f (-1)>0 D=(b+3) 2 -4(b-2)(b+6)=-(b-3)(3b+19)>0. -(b-3)(3b+19)>0 -1<-(b+3)/2(b-2)<1 (-b-3)(3b+19)>0 (b-2)(b-2-b-3+b+6)>0 (-3b -1)/(b-2)>0 (b-2)(b-2+b+3+b+6)>0 (7-b)/2(b-2)<0 (b-2)(3b+7)>0 (b-2)(b+1)>0. x2x2 x1x1 xВxВ x 1 f (-1) f (1) a a a a -19/3 3 1/ /32 a 2 Ответ:при b (-19/3;-7/3). Э

5. Меньший корень принадлежит промежутку (M;N), а больший нет, т.е. X 1 (M;N) X 2 (M;N) X 1 0 если a<0 Э Э x1x1 x2x2 M N f (M) f (N) x x x1x1 x2x2 M N f (M) f (N) a>0 f (M)>0 a * f (M)>0 a<0 f (M)<0 a * f (M)>0 a>0 f (N)<0 a * f (N)<0 a<0 f (N)>0 a * f (N)<0 Условия, объединяющие оба графика : a * f (M)>0 a * f (N)<0

5.Определить, при каких значениях параметра k x 1 >x 2 x 2 (1;2) x 1 (1;2), (k-2)x 2 +(k+2)x+k-5=0 a * f (2)<0 a * f (1)>0 (k-2)(k-2+k+2+k-5)>0 (k-2)(4k-8+2k+4+k-5)<0 (k-2)(3k-5)>0 (k-2)(7k-9)<0 где x 1 и x 2 – корни уравнения Э Э x x1x1 x2x2 1 2 f (1) f (2) k k 5/32 29/7 Ответ: при k (9/7;5/3). Э

6. Больший корень принадлежит промежутку (M;N), а меньший нет, т.е. x 1 (M;N) x 2 (M;N) x 1 <x 2 если a>0 если a<0 Э Э X1X1 X2X2 M N f (M) f (N) x X1X1 X2X2 M N X f (M) a>0 f (M)<0 a * f (M)<0 a<0 a * f (M)<0 f (M)>0 a>0 f (N)>0 a * f (N)>0 a<0 f (N)<0 a * f (N)>0 f (M) * f (N)<0 a * f (M)<0 a * f (N)>0 Условия, объединяющие оба графика :

Найдём условия, объединяющие оба графика: f (M) * f (N)<0 a * f (M)<0 a * f (N)>0

6.ОПРЕДЕЛИТЬ, ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА K X 1 >X 2 X 1 (1;2) X 2 (1;2), (K+1)X 2 +(K-4)X+K-7=0 a * f (2)>0 a * f (1)<0 (k+1)((k+1)2 2 +(k-4)2+k-7)>0 (k+1)(k+1+k-4+k-7)<0; (k+1)(7k-11)>0 (k+1)(3k-10)<0. где x 1 и x 2 – корни уравнения Э Э x1x1 x2x2 X 1 2 f (1) f (2) k k 11/7 10/3 Ответ: при k (11/7;10/3). Э

7. Заданные точки M и N принадлежат промежутку (X 1 ;X 2 ),т.е. X 1 <M<N<X 2 если a>0 если a<0 X1X1 X2X2 f (M)f (N) MN X X1X1 X2X2 MN X f (M)f (N) a>0 f (M)<0 a>0 f (N)<0 a * f (M)<0 a * f (N)<0 a<0 f (M)>0 a<0 f (N)>0 a * f (M)<0 a * f (N)<0

7.Определить, при каких значениях параметра k интервал (x 2 ;x 1 ) содержит промежуток (-1;2), где x 1 и x 2 – корни уравнения (k+2)x 2 +(k-3)x+k-6=0 a * f (-1)<0 a * f (2)<0 (k+2)(k+2-k+3+k-6)<0 (k+2)(4k+8+2k-6+k-6)<0 (k+2)(k-1)<0 (k+2)(7k-4)<0 X x1x1 x2x2 2 f (-1)f (2) k k -2 4/7 1 Ответ: при k (-2;4/7). Э

Рассмотрев все случаи расположения корней параболы, можно сделать вывод: зная условия расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой, можно с помощью графика всегда составить такие неравенства, которые полностью отразят заданные условия задачи. Рассмотрим несколько задач, отражающих данную теорию.

Найти все значения а, при которых корни уравнения (1+а)х 2 -3 ах+4 а=0 больше a+1=0 D0 D=9a 2 -4a * (4+4a)= -16a-7a 2 = x в >1 = -a * (16+7a) (a+1) * f(1)>0 x в = -b/2a = -(-3a)/2 * (a+1) = =3a/2 * (a+1) f(1)=a+1-3a+4a=2a+1 -a * (16+7a)0 3a/2 * (a+1)>1 (a+1)(2a+1)>0 a [-16/7;-1) Э X xВxВ 1 f(1) - 16 / /2

2. Так как не сказано, что квадратное уравнение имеет корни больше 1, то рассмотрим случай, когда квадратное уравнение будет линейным: a+1=0 a= -1 (1-1)x 2 – 3x * (-1) – 4 * (-1)=0 3x-4=0 x=4/3 (4/3>1, следовательно х=4/3 является корнем уравнения) Ответ: а [-16/7;-1)V{4/3} Э

При каких значениях а уравнение (2 а-1)х 2 +(3-а)х+1=0 имеет два действительных корня меньше 2. Уравнение не может быть линейным, т.е. 2 а-1=0, так как в условии сказано, что уравнение имеет два корня. 2 а-1=0; a=1/2 D>0 D=9-6a+a 2 -8a+4= X в <2 =a 2 -14a+13=(a-1)(a-13) (2a-1) * f(2)>0 x в = -(3-a)/2 * (2a-1)= = (a-3)/2 * (2a-1) f(2)=(2a-1) * 4+(3-a) * 2+1= =6a+3 (a-1)(a-13)>0 (a-3)/2 * (2a-1)<2 (2a-1)(6a+3)>0 2 f(2) xвxв X 113 1/71/2 -1/2 1/2 Ответ:a ( ;-1/2)V(13; ) Э

Найти множество всех чисел а R, для каждого из которых уравнение 2(х 2 -х-2 а 2 +2 а+2) = х+1;х-1 имеет два корня разных знаков 2(x 2 -x-2a 2 +2a+2) = x 2 +2x+1 2x 2 -2x-4a 2 +4a+4-x 2 -2x-1=0 x 2 -4x-4a 2 +4a+3=0 f(-1)0 f(-1)=1+4-4a 2 +4a+3= f(0)<0 =8-4a 2 +4a f(0)= -4a 2 +4a+3 -4(a 2 –a-2)0 -4a 2 +4a+3<0 X f(-1) /23/2 Ответ: a [-1;-1/2)v(3/2;2] Э

Найти все значения k, при которых оба корня уравнения kx 2 –(k+1)x+2=0 по абсолютной величине меньше 1. D=k 2 +2k+1-8k=k 2 - 6k+1 X в = -b/2a=(k+1)/(2k) D>0 f(1)=k-k-1+2=1 x в >-1 f(-1)=k+k+1+2=2k+3 x в <1 k * f(-1)>0 k * f(1)>0 k 2 - 6k+1>0 k 2 - 6k+1>0 (k+1)/(2k)>-1 (3k+1)/(2k)>0 (k+1)/(2k)<1 (1-k)/(2k)<0 k * (2k+3)>0 k * (2k+3)>0 k>0 k>0 X 1 xвxв f(1)f(-1) /2 1 -1/3 Ответ: k (3+22; ) Э + 8

Найти а, при которых все решения уравнения x 4 +(3a-2)x 2 (x+1)+(2a 2 –a-3)(x+1) 2 =0 удовлетворяют условие -3 х 0 1. x 2 =0; x=0 2. x+1=0; x= -1 2a 2 -a-3=0 1=0 a= -1 a=3/2 O x 4 -5x 2 (x+1)=0 x 4 –(5x 2 (x+1))/2=0 x 2 (x 2 -5x-5)=0 x 2 (x 2 -5x/2-5/2)=0 x=0 x=(5+35)/2 ( [-3;0]) x=0 2x 2 -5x-5=0 x=(5-35)/2 x=(5+65)/4 ( [-3;0]) x=(5-65)/4 X 4 +(3a-2)x 2 (x+1)+(2a 2 –a-3)(x+1) 2 =0 (:x 2 (x+1); x0; x -1) x 2 /(x+1)+(3a-2)+(2a 2 -a-3)(x+1)/x 2 =0 x 2 /(x+1)=t t+(2a 2 -a-3)/t+3a-2=0; t0 Э Э

t 2 +(3a-2)t+(2a 2 -a-3)=0 D=9a 2 -12a+4-8a 2 +4a+12=a 2 -8a+16=(a - 4) 2 t 1 =(2-3a+a-4)/2= -a-1 t 2 =(2-3a-a+4)/2=3-2a x 2 /(x+1)= -a-1 x 2 /(x+1)=3-2a x 2 +x(a+1)+(a+1)=0 x 2 –x(3-2a)-(3-2a)=0 D=a 2 +2a+10-4a-4= D=9-12a+4a a= =a 2 -2a-3=(a+1)(a-3) =4a 2 -20a+21=4(a-3/2)(a-7/2) f(-3)=9-3a-3+a+1= f(-3)=9+9-6a-3-2a= =7-2a =15-8a f(0)=a+1 f(0)=2a-3 D0 x в =-b/2a=-(a+1)/2 x в =-b/2a=(3-2a)/2 f(-3)0 f(0)0 (a+1)(a-3)0 4(a-7/2)(a-3/2)0 x в-3 7-2a0 15-8a0 x в 0 a+10 2a-30 -(a+1)/2-3 (3-2a)/2-3 -(a+1)/20 (3-2a)/20 X -30 f(-3) f(0) xвxв

(a+1)(a-3)0 (a-7/2)(a-3/2)0 a7/2 a15/8 a-1 a3/2 a5 a9/2 a-1 a3/2 7/ /2 7/2 15/8 9/2 a [3;7/2] Э Ответ:a [3;7/2]v{3/2} Э

При каких действительных значениях параметра β уравнение 2(β 2 +1)cos 2 x+4β 2 cosx+1=0 не имеет решений. cosx=t, |t|1 2(β 2 +1) t 2 +4β 2 t +1=0 2. f(-1)<0 1.D<0 f(1)<0 D=4β 4 -2β 2 -2<0 2β β 2 +1<0 β 2 =1 β 2 = -1/2 2β β 2 +1>0 β=±1 (решений нет) 2β 2 – 3>0 6β 2 + 3<0 (β2-3)(β2+3)>0 2β 2 +1<0 O β (-1;1) O 3. D=0 2β 4 – β 2 -1=0 β 2 =1 β 2 = -1/2 β=±1 2(1+1)t 2 +4t+1=0 (2t+1) 2 =0; t= -1/ Ответ:β (-1;1) Э Э X 1 f(1)f(-1)

Найти а, при которых уравнение (а-1)sin 2 x+2(a-2)sinx+a+3=0 не имеет решений. 1. sinx=t; |t|1 2. (a-1)t 2 +2(a -2)t +a+3=0 D/4=a 2 -4a+4-(a-1)(a+3)=a 2 -4a+ +4 –a 2 -2a+3=7-6a f(1)=a-1+2a-4+a+3=2(2a-1) f(-1)=a-1-2a+4+a+3=6 D>0 x в =-b/2a=-(a-2)/(a-1)=(2-a)/(a-1) D<0 (a-1) * f(-1)<0 7-6a<0 (a-1) * f(1) 7/6 7-6a>0 (a-1) * 6<0 2(a-1)(2a-1)<0 a<7/6 a<1 (a-1)(2a-1)<0 1 f(-1)f(1) 1 f(1)f(-1) X X 1 1 7/6 1/ a (1/2;1) Э a (7/6; ) Э 8

3. 4. D0 7-6a0 D0 7-6a0 (a-1) * f(-1)>0 (a-1) * 6>0 (a-1) * f(1)>0 2(a-1)(2a-1)>0 x в 1 (2-a)/(a-1)>1 a7/6 a7/6 a>1 (a-1)(2a-1)>0 1/(a-1) 0 1 f(-1)f(1) xвxв xвxв XX 7/ /2 3/ a (- ;1/2) 8 Э

5. a (1/2;1) a (7/6; ) a (- ;1/2) Э Э Э 8 8 1/2 1 7/6 Ответ : a (- ;1/2)v(1/2;1)v(7/6; ) Э 88