Автор ЛЕОНТЬЕВА РАИСА НИКОЛАЕВНА, учитель математики I категории МОУ Новохоперская СОШ 2, педагогический стаж работы 38 лет.

Повторительно- обобщающий урок Тема: Тригонометрические уравнения

Цели и задачи Актуализация опорных знаний решения простейших тригонометрических уравнений, применение условия равенства произведения множителей нулю, обобщение и систематизация знаний и методов решения тригонометрических уравнений. Применение обобщенных знаний, умений и навыков в новых условиях –создание проблемной ситуации, ознакомить с решением тригонометрических уравнений с использованием области определения. Контроль и самоконтроль знаний с помощью самостоятельной работы на уроке. Применение тригонометрии в физике. Развитие логического мышления, умение работать с дополнительным материалом, применять знания в других разделах наук (физике),развивать умение сравнивать,обобщать, правильно выбирать ответ задачи излагать мысли. Воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, культуры общения, межпредметные связи, таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели. Умение не растеряться в проблемных ситуациях. ОБОРУДОВАНИЕ: экран,телевизор, карточки-инструкции, справочный материал, карточки с дифференцированными заданиями для самостоятельной работы.

Структура урока 1. Организационный момент 2. Доклад об истории развития тригонометрии 3. Решение тригонометрических уравнений, содержащих одну и туже функцию одного и того же аргумента, методом подстановки. 4. Решение тригонометрических уравнений, приводящих к предыдущему типу, по формулам: 5. Решение однородных уравнений 6. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители 7. Решение физических задач с использованием тригонометрических уравнений 8. Решение уравнений различными способами. Область определения. 9. Самостоятельная работа. 10. Итог урока. 11. Задание на дом.

Истории развития тригонометрии Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Различные отношения отрезков треугольника и окружности и тригонометрические функции встречаются уже в III в.до н.э в работах великих математиков Древней Греции-Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. Слово синус с латинского –изгиб, кривая. Слово косинус-«дополнительный синус» Тангенсы возникли в связи с решением задач об определении длины тени. Тангенсы были открыты в XIVв. Сначала английским ученым Браврдином,а потом немецким астрономом Региомонтоном. Современные обозначения arcSin, arcCos, Arctg появляются в работах Лагранжа, Бернулли. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л.Эйлер( ). Он составил 800 работ. Эйлер ввел первым определения тригонометрических функций, получил формулы приведения, доказал много теорем, относящихся к самым разным областям математики.

ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ ПТОЛЕМЕЙ АРХИМЕД ЛАГРАНЖ БЕРНУЛЛИ ЭЙЛЕР

Организация урока Класс разбит на шесть групп и каждая группа получает одно из заданий, перечисленных в плане урока. Используют в работе соответствующие разделы учебника, дополнительный материал. На доске и в тетрадях учащихся написаны схемы решения каждого из простейших уравнений. Sin x = a, Cos x = a Если а > 1, то х. Если |а | <1, то х=(-1) n arcsin a + n, n Z. Особые случаи: sin x=1, x= /2 +2 k, k Z. sin x=-1, x= - /2 +2 m, m Z. sin x=0, x= n, n Z. y x0 a arcsin a + (2m+1), m Z arcsin a + (2k), k Z y x0 a arccos x + 2 n, n Z arccos x + 2 m, m Z Если а > 1, то х. Если |а | <1, то х=±arccos a + 2 n, n Z. Особые случаи: cos x=1, x= 2 k, k Z. cos x=-1, x= +2 m, m Z. cos x=0, x= /2+ n, n Z.

tg x = a, ctg x = a x = arctg a + n, n Z. Особый случай: tg x =0, x = k, k Z x = arcctg a + n, n Z. Особый случай: сtg x =0, x = m, m Z y x0 -arctg a +2πn, n Z arctg a +π(2k+1), k Z y x0 π +arcctg a +2πm, m Z arcctg a +2πl, l Z

Метод подстановки 2 sin 2 2x + 5 sin 2x – 3=0. Пусть sin 2x = t ( |t| 1). 2 t t – 3=0 t 1 =1/2; t 2 = -3 – посторонний корень, так как |-3|>1 sin 2x = 1/2; x sin 2x = 1/2; x=(-1) n /12 + n/2, n Z.

Использование формул cos ((2x)/3) – 5 cos (x/3) – 2 = 0 Пусть cos (x/3) = t, |t| 1, тогда cos ((2x)/3) = 2t 2 – 1. 2t 2 – 5t – 3 =0; t 1 =3 - посторонний корень, так как |3|>1, t 2 =-1/2 cos (x/3) = -1/2; x = ±2 +6 n, n Z

Однородные уравнения a sin x + b cos x – однородное тригонометрическое уравнение первой степени относительно sin x + b cos x. Оно решается делением обоих частей на cos x 0. В результате получается уравнение вида a tg x + b=0 и т.д. 3sin 2 x+sin x·cos x = 2 cos 2 x 3sin 2 x+sin x·cos x - 2 cos 2 x = 0 | cos 2 x 3tg 2 x+tg x – 2 =0 tg x = -1 или tg x = 2/3 x= - /4 + n,x=arctg(2/3) + k, n Z;k Z

Найдите ошибку

Разложение на множители 2sin 3 x+cos x · sin2x = -1. Найдите все корни, принадлежащие [0; 2 ]. 2sin 3 x+cos 2 x · sin x = -1, 2sin x(sin 2 x+cos 2 x) = -1, 2sin x= -1, x 2sin x= -1, x =(-1) n+1 /6 + n, n Z. Найдем все корни, принадлежащие [0; 2 ]. n=0, тогда x=- /6 [0; 2 ]; n=1, тогда x=7/6 [0; 2 ]; n=2, тогда x=11/6 [0; 2 ]; n=3, тогда x=19 /6 [0; 2 ]; Ответ:1) x Ответ:1) x =(-1) n+1 /6 + n, n Z. 7/6 и 11/6 [0; 2 ] 2) 7/6 и 11/6 [0; 2 ]

Решение задач по физике Спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копье на 90 м 86 см. Какое расстояние пролетело бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения в Осло равно 9,819, а в Токио – 9, h max x y l Дано: l1=90.86 м g1=9.819 м/с 2 g2=9.798 м/с 2 L2-?

Решение уравнений различными способами Использование области определения Рассмотрим метод решения уравнения вида f(x)=g(x). Это метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых функции с ограниченной областью определения, такие, как y=arcsin x, y = arccos x

Решение уравнений различными способами Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), D(f) – область определения функции f(x), D(g) – область определения функции g(x), D(f)D(g) = {a}, то если уравнение f(x)=g(x) имеет решение, им является число а. Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только х=1. Проверим это с помощью прямой подстановки значения х=1 в уравнение. Так как, то х=1 – единственный корень данного уравнения. На рисунке приведена графическая иллюстрация данного примера.

Решение уравнений различными способами Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), D(f) – область определения функции f(x), D(g) – область определения функции g(x), D(f)D(g) = {a 1, a 2,..a n }, то действительные корни данного уравнения находятся среди a 1, a 2,..a n. Если ни одно из числ a 1, a 2,..a n не является корнем уравнения, то уравнение решений не имеет Проверим являются ли эти числа корнями уравнения. Действительно, -1 – корень уравнения. При подстановке x=1 в уравнение получаем ложное равенство, что свидетельствует о том что 1 не является конем уравнения, на рисунке все это хорошо видно.

Самостоятельная работа Вариант I. 1. Вариант II

Подведение итога урока Повторили основные способы решения тригонометрических уравнений. Все учащиеся приняли активное участие в ходе урока, показали глубокие знания в применении тригонометрических формул. Правильно осуществляли анализ полученных решений и отбор корней. Чтобы иметь хорошие знания,надо постоянно вести поиск нового. Неизвестного, используя дополнительную литературу и консультации учителя. ЗАДАНИЕ НА ДОМ: Индивидуальные карточки с дифференцированными заданиями. Творческое задание: нестандартные приемы решения уравнений.

Пример карточки