Бугайова Ніна Федорівна Чигиринський НВК Дошкільний заклад – спеціалізована школа І-ІІІ ступенів 2 Початкові відомості зі стереометрії. 9 клас

При вивченні теми ми: Розглянемо взаємне розміщення у просторі прямих і площин; Познайомимось з просторовими фігурами, їх елементами, поняттями поверхні та обєму; Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи.

ПЛАН 1. Взаємне розміщення прямих у просторі. 2. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. 3. Пряма призма. Площа поверхні та обєм призми. 4. Піраміда. Площа поверхні та обєм піраміди. 5. Тіла обертання. Циліндр. Площа поверхні та обєм циліндра. 6. Конус. Площа поверхні та обєм конуса. 7. Куля. Площа поверхні та обєм кулі. 8. Історична довідка.

Основні геометричні фігури РисунокФігуриПозначення точкиА, В, С... прямі а, в, с... АВ, ВС... площиниα, β, γ...

Аксіоми стереометрії Яка б не була площина, існують точки, що належать їй, і точки, що їй не належать Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку Через дві прямі, що перетинаю- ться, можна провести, площину і дотого ж тільки одну

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Задача. Доведіть, що через пряму і точку, яка їй не належить, можна провести площину. Дано: АВ-пряма С не належить АВ. Доведіть: пряма АВ і точка С лежать у площині α. Доведення: Візьмемо точку Д, яка лежить на прямій АВ. Проведемо пряму СD. Через прямі АВ і СD, які перетинаються, проведемо площину α. Що і треба було довести.

Взаємне розміщення двох площин

Взаємне розміщення прямої і площини Паралельні аα перетинаються пряма лежить у площині

Пряма, перпендикулярна до площини Означення: Пряма перпендикулярна до до площини α, якщо са, сb. Теорема: Якщо са, сb то сα. АО – перпендикуляр; АВ – похила; ВО – проекція похилої АВ на площину α. Перпендикуляр і похила

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямокутний пералелепіпед. AB=BC=2см, BB 1 =1см. Знайдіть: BB 1, B 1 A 1, B 1 C 1, B 1 D 1, B 1 C, B 1 D, B 1 A. Розвязання BB 1 =1см, A 1 B 1 =B 1 C 1 =2см B 1 D 1 = B 1 C 1 ²+ C 1 D²=4+4=22 (см) B 1 A= B 1 C=1²+2²=5 (см) B 1 D= B 1 ²D 1 ²+DD 1 ²=8+1=3 (см) Відповідь: 2см, 1см, 22см, 5см, 3см. Задача. Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1см, 2см, 2см. Знайдіть відстань від однієї із вершин прямокутного паралелепіпеда до інших його вершин.

Многогранником називається геометричне тіло (частина простору), обмежена скінченною кількістю плоских многокутників. Многокутники які обмежують многогранник називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Гранями є многокутники ABC, A 1 B 1 C 1, ABB 1 A 1, BB 1 C 1 C, AACC; ребрами – сторони AC, BC, AB, AA 1, BB 1, CC 1, A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1 ; вершинами – точки A, B, C, A 1, B 1, C 1.

Призма n-кутна призма – многогранник, дві грані якого – рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші грані – паралелограми. ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 – основи; AA 1, BB 1, CC 1, DD 1 – бічні ребра; AB, BC, CD, AD, A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1 – ребра основи.

Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA 1 =h. Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник. Площа бічної поверхні прямої призми: S бічне =P*h, де P – периметр основи. S повне =S бічне +2S осн Об`єм призми прямої: V=S осн *h

Задача. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро дорівнює 5см. Знайдіть площу повної поверхні і об`єм призми. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 – пряма призма ACB – прямокутний, кут C=90º AC=3см, CB=4см, АА 1 =5см Знайти: S повн ; V призми - ? Розвязання З ACB за теоремою Піфагора AB²=AC²+CB²; AB=3²+4²=5 (см) S бічн =P*h=(3+4+5)*5=60 (см²) S осн =1/2AC*CB=1/2*3*4=6 (см²) S повн =60+2*6=72 (см²) V призми = S оснh=6*5=30 (см³) Відповідь: 72см², 30см³

Задача. Скирда сіна має форму прямої призми з п`ятикутною основою. Розміри скирди (у метрах) подано на рисунку. Знайдіть об`єм скирди та масу сіна в скирті, якщо густина сіна дорівнює 0,03 т/м³. (Відповідь: 19,8 т.)

Піраміда n- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину. P – вершина піраміди; ABCD – основа піраміди; PAB, PBC, PCD, PDA – бічні грані; PA, PB, PC, PD – бічні ребра; AB, BC, CD, AD – ребра основи; PO – висота, POABCD.

Основа правильної піраміди – правильний многокутник, а основа висоти – центр многокутника. PF – апофема (висота бічної грані проведена з її вершини, наз. апофемою), PFDC. S пір =S осн +S біч Площа бічної поверхні правильної піраміди S біч =m*p, де m – апофема, p – півпериметр основи. Об`єм піраміди: V=S осн *H

Задача. Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16см, а бічне ребро 10см. Дано: PABCD – правильна піраміда. ABCD – квадрат, AB=16см, PD=10см Знайти: S пов. Розвязання S повне =S бічне +S осн S ABCD =AB²=16²=256 (см²) PO – висота, PK – апофема. DK=KC=8см; PDK – прямокутний. З PDK за теоремою Піфагора: PK²=PD²-DK², PK=10²-8²=36=6 (см) S біч =m*p, S біч =6*((164)/2)=6*32=192 (см²) S повне = =448 (см²) Відповідь: 448 см²

Задача. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 3см 5см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об`єм піраміди. Дано: PABCD – піраміда, ABCD – прямокутник, AB=3см, AD=5см, PO – висота, PO=10см Знайдіть: V пір - ? Розвязання V=S осн *Н S ABCD =ABAD=3*5=15 (см²) H=PO=10см V пір =S осн *Н=*15*10=50 (см²) Відповідь: 50см²

Циліндр Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. O 1 A і OB – радіуси, AB – твірна AB=ОО 1 – висота, ОО 1 – вісь. Площа поверхні циліндра: S цил =S біч +2S осн, де S біч =2πRH, S осн =πR ² Об`єм циліндра: V=S осн H; V=πR²H. Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. ABA 1 B 1 – осьовий переріз циліндра.

Задача. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8см. Знайдіть бічну і повну поверхні циліндра. Дано: циліндр з віссю ОО 1 АА 1 В 1 В- квадрат АА 1 =АВ=8см Знайти: S біч -?, S повн -? Розвязання S пов = S біч + 2S осн S біч = 2πRH, Sосн=πR² AB- діаметр циліндра R=AB/2=8/2= 4 (см) S біч = 2πRH=2*π4*8=64π (см2) S осн = πR2=π*42=16π (см²) S пов = 64π+2*16π= 96π (см²) Відповідь: 64π см²; 96π см².

Задача. Діагональ AC осьового перерізу ABCD циліндра дорівнює 10см, а його висота ОО 1 - 8см. Знайдіть площу поверхні та обєм циліндра. Дано: циліндр з віссю ОО 1 ABCD - осьовий переріз, ABCD – прямокутник, AC- діагональ, AC=10см. ОО 1 = 8см. Знайти: S повн. -? V цил. -? Розвязання S повн =S бічн +2S осн., S бічн =2πRH ACD- прямокутний. За теоремою Піфагора AD=AC²-CD² = 10²-8²=36=6 (см) AD- діаметр циліндра, R=6/2= 3 (см) S бічн =2πRH=2π*3*8= 48π (см²) S осн =πR²=π*3²=9π (см²) S повн = 48π+2*9π= 66π (см²) V=πR²H=π*3²*8= 72 (см³) Відповідь: 66см² ; 72см³

Конус Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів. КО- вісь, КО- висота, КА- твірна, АО- радіус. Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. АКА 1 - осьовий переріз конуса. Площа поверхні конуса S кон = S бічн +S осн. S біч =πRL, Sосн= πR², L-твірна. Обєм конуса V= 1/3πR²H

Задача. Основний переріз конуса – правильний трикутник, сторона якого дорівнює 6см. Знайдіть бічну поверхню конуса. Дано: конус, Δ АКВ – правильний АК=КВ=АВ=6см. Знайти: S бічн. Розвязання S бічн. =πRL; L=KB=6см. Δ АКВ – правильний, то КО – висота і медіана АО=ОВ=3см, R=3см. S бічн. =πRL=π*3*6=18π (см²) Відповідь: 18π см²

Задача. Купа щебеню має форму конуса, твірна якого дорівнює 6см, а кут між твірною і висотою цього конуса становить 60º. Знайдіть обєм щебеню. Дано: конус, АК – твірна, АО – висота. ےАКО=60º, АК=6см. Знайти: V кон. Розвязання V=1/3 πR²H Δ АКО – прямокутний, ےАКО=60º, то ےКАО=30º. КО=1/2*6=3(см) (катет, що лежить проти кута 30º) За теоремою Піфагора з Δ АКО КО=АК² – АО²=6²-3²=27=33 V=1/3πR²H=1/3π*(33)²*3=27π(см³) Відповідь: 27π см³

Куля (сфера) Куля (сфера) – фігура, утворення обертанням круга (кола) навколо його діаметра. Площина, яка проходить через центр кулі (сфери) називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). О – центр кулі (сфери); ОА, ОВ – радіуси; АВ – діаметр. Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR² Обєм кулі: V=4/3πR³

Задача. Знайдіть площу поверні кулі, діаметр якої 10см. Дано: куля, АВ – діаментр, АВ=10см. Знайти: S кулі Розвязання АВ-діаметр. АО=ОВ=10/2=5 (см) R=5см. S=4πR²=4π*5²=100π (см²) Відповідь: 100π см² Задача. Припустимо, що Земля має форму кулі радіусом приблизно 6400 км, тоді суша становить 30% площі всієї поверхні планети. Знайдіть площу суші.

Задача. Площа поверні кулі дорівнює 400π см². Знайдіть її обєм. Дано: куля, S пов =400π см² Знайти: V кулі -? Розвязання V=4/3πR³ S=4πR² R²=S/4π=400π/4π=100 (см) R=10 (см) V=4/3πR³=4/3π*10³=4000/3π (см³) Відповідь: 4000/3π см³

Історична довідка Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії. Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками. Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.

Джерела інформації 1. Апостолова Г.П., Геометрія 9 кл р. 2. Єршова А.П., Голобородько В.В. і др. Геометрія 9 кл р. 3. Роганін О.М. Геометрія, Розробки уроків, видавництво Ранок 2009 р.

Бажаю успіхів у вивчені даної теми