ab= a b cos( ) ab ab = 0= 0= 0= 0 ab ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 a 2a 2a 2a 2= a 2 Повторение

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M

Маленький тест ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Проверка xOy На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка М(2; -3; 5) I I I I M zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O Oxy 2

5;5; ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка 4;4; На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)А Oxy zy x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Найти координаты середины отрезка, если концы его имеют координаты и A(-3; 2;-4) B(1;-4; 2) C(-1;-1;-1) C ( ; ; ) (-4) C(-2; 1;-1) C(-2;-2;-2) Проверка

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами и ; ; ПОДУМАЙ ! АС DA АВСD

Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямойkj 1 – 1 0 x yz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i O

1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен: 7 i7 i7 i7 i Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. ( 7i ) 2 = 7 i 2 = 7 2 = 49

2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ ! Записать координаты вектора n = – 8j + i n {-8; 1; 0} n {1;-8; 0} n {1; 0;-8}

3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ ! Проверка mn = –15, m = 5,m = 5,m = 5,m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами и, еслиmn Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой

ПОДУМАЙ ! Проверка (2) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов и. 4; 1. 2; ВЕРНО! АD 1 BC D1D1D1D1C B A D C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1

d { 5 ; 4;-3} b {-2; 1;-7} Найдите скалярное произведение векторов Пример ( ) Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов и выражается формулой выражается формулой a {x 1 ; y 1 ;z 1 } b {x 2 ; y 2 ;z 2 } = x 1 x 2 + y 1 y 2 +z 1 z 2 ab =

Даны векторы a {1; -1; 2}, b {-1; 1; 1}, c {5; 6; 2} Вычислитьa c =c =c =c = a b =b =b =b = b c =c =c =c = a a =a =a =a = b b =b =b =b = (-1) = (-1) = 3 1 (-1) + (-1) = = (-1) (-1) = 6 -1 (-1) = 3

Через длины векторов и угол между ними ab = a b cos( ) ab ab = 0= 0= 0= 0 ab ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 a 2a 2a 2a 2 = a 2 в координатах = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ab Скалярное произведение векторов

a {3; -4; 2}, b {-2; 1; 3}, Найдите c {-2;-1,5; 0} ab bc ca = - 4 = 2,5 = 0 Перпендикулярны ли векторы и, и, иabbcca Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами и, и, иabbcca тупой острый прямой = 3 (-2) + (-4) = (-2) (-2) + 1 (- 1,5) = 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0

Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулойab cos cos = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x y z 1 2 x y z 2 2 x y z 2 2

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Доказательство: a = b = x y z 2 2 ab ab =abcos cos = ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = x y z 1 2 x y z 1 2 x y z 2 2 cos

Сочетательный закон Переместительный закон Распределительный закон Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов,, и любого числа справедливы равенства:abbkc4 a 2 0 причем при a 2 > 0 a 0 abba= (a + b) c = a c + b c ( k a )( k a )( k a )( k a )b k ( a b) =

Распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например, ( a + b + c ) d = a d + b d + c d (a + b) c = a c + b c

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, АА 1 =АВ=АD=1,, B1B1B1B1 C D A B C1C1C1C1 A1A1A1A D1D1D1D1 ВА D 1 C 1 а)а)а)а) = 1 1 cos180 0