Вычисление углов между прямыми и плоскостями 22.10.13 г. - презентация

1 Вычисление углов между прямыми и плоскостями г

2 Цели ученика: Понять, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Научиться применять формулы скалярного произведения векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

3 Повторение Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как найти длину вектора ? Как найти расстояние между точками?

4 Что называется скалярным произведением векторов? Повторение Чему равно скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

5 Направляющий вектор прямой. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. а В А

6 Задачи из текста учебника (п.52). 1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. а)б) θ θ φ = θφ = θ

7 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.. а)б) α а φ θ α а φ φ θ Задачи из текста учебника (п.52).

8 464 (а) Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. 1. Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0

9 466 (а) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, точка М принадлежит АА 1, АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1. Введем систему координат. х у z 2. Рассмотрим векторы DD 1 и МN. М N 3. Пусть АА 1 = 4, тогда 4. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cost. Ответ:

10 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1 способ: 1. Введем систему координат B xyz х у z 2. Пусть АА 1 = 2, тогда АВ = ВС = Координаты векторов: 4. Находим косинус угла между прямыми:

11 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D х у z 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 2 способ: 1. Т.к. СD 1 || ВА 1, то углы между ВD и ВА 1 ; ВD и СD 1 – равны. 2. В ΔВDА 1 : ВА 1 = 5, А 1 D = 5 3. ΔВDА: по теореме Пифагора 4. По теореме косинусов:

12 П. 52, 466 (б, в) 467 (б) – двумя способами.