НА ДОПОМОГУ ВЧИТЕЛЕВІ Підготувала вчителька математики Веселокутської ЗОШ І-ІІІ ст. Тальнівського району, Черкаської області Баранюк Наталія Петрівна

Відсотком (процентом) будь-якого числа називається сота частина цього числа, тобто 1%=1/100. Слово процент походить від латинських слів pro centиm, що означає з сотні Розрізняють три типи задач на відсотки: а) знаходження відсотка від числа; б) знаходження числа за його відсотком; в) знаходження відсоткового відношення двох чисел.

р% числа a дорівнює Розвяжи задачу Путівка до санаторію коштує 600гривень. Службовець купує путівку за 30% її вартості. Скільки грошей він має сплатити? Путівка до санаторію коштує 600гривень. Службовець купує путівку за 30% її вартості. Скільки грошей він має сплатити?

Розвязання 600грн - 100%, Х грн - 30%, Отже, службовець має сплатити 180 грн. Відповідь.180 грн.

Якщо р% якогось числа становить а, то все число дорівнює Розвяжи задачу Службовець купив у профспілці путівку до санаторію за 30% вартості і сплатив при цьому 180 грн. Скільки коштує путівка? Службовець купив у профспілці путівку до санаторію за 30% вартості і сплатив при цьому 180 грн. Скільки коштує путівка?

Х грн. – 100%, Х грн. – 100%, 180грн. – 30%, 180грн. – 30%, Отже, путівка коштує 600грн. Відповідь.600грн. Відповідь.600грн.

Щоб обчислити відсоткове відношення числа а до числа в, треба знайти відношення а до в і помножити його на 100. Розвяжи задачу Розвяжи задачу Путівка до санаторію коштує 600 грн. службовець сплатив за неї 180 грн. Який відсоток вартості путівки він сплатив? Путівка до санаторію коштує 600 грн. службовець сплатив за неї 180 грн. Який відсоток вартості путівки він сплатив?

600грн. – 100%, Розвязання : 600грн. – 100%, 180грн. – Х%, 180грн. – Х%, Отже, службовець сплатив 30% вартості путівкиВідповідь.30%

Запам'ятай!

РОЗВЯЖИ ЗАДАЧУ Ціна товару спочатку знизилась на 10%, а потім ще раз на 10%. На скільки відсотків знизилася вона після двох переоцінок?

Розвязання. Нехай початкова ціна товару Х, ціна після першого зниження 0,9Х, ціна після другого зниження У. 0,9Х – 100%, У – 90%, Х – 0,81Х = 0,19Х. Отже, ціна товару знизилася на 19%. Відповідь. На 19%.

1. На заводі 35% усіх робітників – жінки, а решта – чоловіки, яких на заводі на 252 чоловіки більше, ніж жінок. Скільки робітників на заводі?

Розвязання. Чоловіки становлять 100% - 35% = 65% від загальної кількості робітників. Чоловіків більше, ніж жінок на 65% - 35% = 30%,щo становить 252 чоловіки. Отже,загальна кількість робітників дорівнює Відповідь. 840 чоловік.

РОЗВЯЖИ ЗАДАЧУ Від продажу товару за 1386 гривень одержано 10% прибутку. Знайти собівартість товару.

Відсоток прибутку береться у відношенні до собівартості товару, яку приймемо за 100%. Ціна товару при продажі (1386грн.) становить Розвязання. Відсоток прибутку береться у відношенні до собівартості товару, яку приймемо за 100%. Ціна товару при продажі (1386грн.) становить 100%+10%=110% собівартості. Отже, собівартість дорівнює Відповідь грн.

РОЗВЯЖИ ЗАДАЧУ Вологість свіжих грибів дорівнювала 99%. Коли гриби підсушили, їх вологість знизилась до 98%. Як знизилась маса грибів?

Розвязання. Для свіжих грибів маємо Гриби Хкг – 100%, Вода 0,99Хкг – 99%, Суха речовина 0,01Хкг – 1%. Для підсушених грибів маємо: Гриби Yкг – 100%, Вода 0,98 Y кг – 98%, Суха речовина 0,01Хкг – 2%, Х/2 Тому маса грибів зменшилась у 2 рази. Відповідь. У 2 рази.

Задане число щороку, щомісяця, щодня… збільшується чи зменшується на p% без вилучення приросту. А n = A 0 (1+p/100) n А n Де А n – нарощений капітал, A 0 A 0 – початковий капітал, р% – відсоток річних, n – кількість років

Підприємець поклав до банку грн. Під 7% річних. Які відсоткові гроші матиме підприємець через 5 років? Розвязання. За формолою складених відсотків сума відсоткових грошей становить: А = (1+7/100)280510(грн.) Відповідь: 80510гривень.

Відсотковою концентрацією розчину називається відношення маси розчиненої речовини до маси всього розчину, виражене у відсоках. При ровязуванні задач на змішування : кількість речовини, взятої до змішування, дорівнює кількості цієї речовини, одержаної після змішування.

У хімії відсоткова концентрація називається ваговими відсотками. Якщо йдеться про об'ємні відсотки (відношення об'єму розчиненої речовини до об'єму розчину), то вживають термін міцність. Наприклад, якщо на 10 л спирту припадає 4 л чистого безводного спирту, то кажуть, що міцність цього спирту 40° (пам'ятаємо, що літр одиниця об'єму). А якщо на 10 кг спирту припадає 4 кг чистого безводного спирту, то кажуть, що відсоткова (вагова) концентрація цього спирту 40 %. Поняття концентрації широко використовується в задачах на змішування.

До 8-ми кг 70-відсоткового розчину кислоти долили 2кг води. Визначте відсоткову концентрацію нового розчину. Розв'язання. 1)8кг розчину – 100%, Хкг кислоти– 70%, Х= 8 · 70/100=5,6(кг) кислоти в розчині. 2) 8-5,6 = 2,4(кг) води в розчині, 3)Занесемо дані в таблицю.

10кг розчину – 100%, 5,6кг кислоти – х %, Х= 5,6 · 100/10=56(%) Відповідь. 56% речовинаМаса розчину, кг Маса води, кг Маса кислоти,кг Було82,45,6 Долили22- Стало104,45,6

Задача До 8 л 70-відсоткового розчину сірчаної кислоти долили 2 л води. Визначте відсоткову концентрацію нового розчину.

Розв'язання Густина 70-відсоткового розчину сірчаної кислоти ρ = 1,6. За формулою m=ρV знайдемо, що маса 8 л цього розчину дорівнює 1,6 · 8= 12,8 (кг).(Вважаємо, що маса 1л води дорівнює 1 кг.) Тоді кислоти в розчині 1,28 · 70/100=8,96(кг), а води 12,8 – 8,96 = 3,84(кг).

14, %, 8,96 - х %, х = 8,96 *100/14,8 60,5 (%). Відповідь. 60,5 (%). речовинаМаса розчину, кг Маса води, кг Маса кислоти,кг Було12,83,848,96 Долили22- Стало14,85,848,96

У задачах на суміші звичайно йдеться про маси m 1, m 2,..., m к змішуваних компо-нентів та їх відсоткові концентрації р 1, р 2,..., р к, а також про суміш масою М = m 1 + m m к та її відсоткову концентрацію Р. Тоді справджується співвідношення: m 1 р 1 + m 2 р m к р к = MP. Для змішування двох компонентів маємо: m 1 р 1 + m 2 р 2 = (m 1 + m 2) P, P = (m 1 р 1 + m 2 р 2 )/ (m 1 + m 2)

РОЗВЯЖИ ЗАДАЧУ Задача. З колби, наповненої 40-відсотковою сірчаною кислотою, взяли 320 г кислоти і долили в колбу 258 г води. У результаті кон- центрація кислоти в колбі знизилася до 25 %. Визначте, скільки грамів 40-відсоткової кислоти було в колбі спочатку.

речовинаМаса розчину, гМаса води, гМаса кислоти, г Булох0,6х0,4х Взяли *0,4 Долили258 - СталоХ ,6х0,4х – 0,4*320 (х-62) %, (0,4х - 0,4*320) - 25 %, 25 (х - 62) = 100 (0,4х - 0,4 320), х = 750 (г). Відповідь. 750 г кислоти.

Вміст різних металів і домішок у сплавах також виражається у відсотках. Якщо, наприклад, кажуть, що чавун містить 3 % кремнію і 1 % марганцю, то це означає, що на 100 кг всього сплаву припадає 3 кг кремнію і 1 кг марганцю. Наприклад, якщо в 1 кг сплаву є 875г чистого золота,то його називають золотом 875-ї проби.

Вміст дорогоцінних металів у сплавах виражається пробою. Проба це кількість грамів чистого золота (срібла, платини тощо) в одному кілограмі сплаву. Задача. Скільки золота 375-ї проби треба сплавити з 30г золота 750-ї проби, щоб одержати сплав золота 500-ї проби?

Розв'язання. Нехай Хг золота 375-ї проби треба сплавити з 30г золота 750-ї проби, щоб одержати сплав золота 500-ї проби. Для золота 375-ї проби маємо: Хг – 100%, m с --37,5%, тоді m 1 =37,5Х/100=0,375Х(г)золота. Для золота 750-ї проби маємо: 30г – 100%, m %, тоді m 2 =30*75/100=22,5(г)золота. У Yг сплаву 500-ї проби золота буде г. Маємо систему рівнянь звідки маємо,Х=60. Відповідь.60г золота 375-ї проби.

1.Скільки відсотків міді у бронзовому злитку, який містить 17кг міді і 3кг олова? 2. З молока виходить 10% сиру. Скільки молока треба, щоб вийшло 30кг сиру? 3. Через скільки років капітал, вкладений до банку під 5% річних, збільшиться у 2 рази? 4. Скільки солі розчинено у 10кг 7%-го розчину солі?

Задача 1. Латунь – сплав 60% міді і 40% цинку. Скільки міді та цинку треба взяти, щоб дістати 500т латуні? Розвязання. 1) 500*0,6=300(кг) – міді; 2) 500:0,4 = 200(кг) – цинку. Задача 2. Ціна автомобіля спочатку підвищилась на 20%, а потім знизилась на 20%. Як змінилася ціна на автомобіль після цих двох переоцінок? Розвязання. 20% – 20% = 0. Відповідь. Не змінилася.

Задача 1. Латунь – сплав 60% міді і 40% цинку. Скільки міді та цинку треба взяти, щоб дістати 500т латуні? Розвязання. 1) 500*0,6=300(кг) – міді; 2) 500*0,4 = 200(кг) – цинку. Задача 2. Задача 2. Ціна автомобіля спочатку підвищилась на 20%, а потім знизилась на 20%. Як змінилася ціна на автомобіль після цих двох переоцінок? Розвязання. Початкова ціна х грн., Ціна після підвищення 1,2хгрн. – 100%, Ціна після зниження у грн. - 80%. 1) у=1,2х * 80/100=0,96(грн), 2) Х – 0,96х = 0,04х, що становить 4%. Відповідь. Ціна знизилась на 4%..

Один кавун містить 96% води. Скільки відсотків води у 2 кавунах?

1.Шматок сплаву міді і цинку масою 36 кг містить 45 % міді. Яку масу міді треба добавити до цього шматка, щоб новий сплав містив 60 % міді? 2. Є шматок сплаву міді й олова масою 12 кг, що містить 45 % міді. Скільки чистого олова треба додати до цього шматки, щоб одержаний сплав містив 40% міді? 3. Є брухт сталі двох сортів із вмістом нікелю 5%і 40% скільки треба взяти брухту сталі кожного сорту, щоб одержати 140т сталі, яка містить 30% нікелю? 4. скільки треба змішати 10-відсоткового і 15-відсоткового розчинів солі, щоб мати 1кг 12-відсоткового розчину?

1. Бевз Г.П. Алгебра К.: Школяр, Мерзляк А.Г.,Полонський В.Б., Рабинович Е.М.,Якимр М.С. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 9 класса.- Х.: Гимназия, Сухарева Л.С. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести. Алгебра. 9 клас. - Х.: Гимназия, Цыпкин А.Г. Справочник по методам решенмя задач по математике. – М.: Наука, Антонов Н.П., Выгодський М.Я. Сборник задач по элементарной математике. – М.: Наука, 1974.