Фролов Константин Игоревич учащийся 9 класса МБОУ «СОШ 9» г. Сафоново Смоленской области учитель Стиплина Галина Николаевна Номинация: Математические модели реальных процессов в природе Тема: Геометрия древесного ствола 2014

Цели: повысить интерес к предмету геометрия; расширить кругозор. Задачи: изучить приемы решения задач, связанных с геометрией ствола; использование знаний, полученных на уроках геометрии, на практике

В книге Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия" рассматривается любопытная задача о вычислении объема ствола срубленного дерева или его части в виде бревна средствами элементарной геометрии без использования интегралов. Результат,конечно,получается не очень точным, но на практике вполне достаточна приближенная оценка объема дерева.

Можно считать, что древесный ствол имеет форму, близкую к прямому круговому конусу (либо усеченному конусу), а небольшая часть ствола в идеале представляет собой цилиндр. Имеется одна универсальная формула для вычисления объема каждого из названных тел. Это формула Симпсона

В данной формуле h высота тела, S 1 и S 3 площади нижнего и верхнего оснований соответственно, а S 2 - площадь сечения тела плоскостью, проходящей через середину его высоты параллельно плоскостям оснований.

Благодаря формуле Симпсона не нужно даже выяснять, какова форма срубленного дерева. На практике решение задачи сводится к четырем измерениям, три из которых (длины ствола и диаметров двух срубов) можно сделать непосредственно, а измерив длину окружности ствола на уровне середины его длины, легко вычислить диаметр соответствующего сечения. Остается только произвести расчет объема ствола.

Убедиться в том, что формула верна и для цилиндра, и для конуса, можно, применив ее к каждой фигуре. Например, для полного конуса (рис.1) получим: S 1 = πR 2, S1 R h S2 Рис.1

Формула Симпсона работает и тогда, когда нужно определить объем антипризмы (рис.2) или многогранника, отсекаемого от тетраэдра двумя плоскостями, параллельными двум его ребрам (рис.3) Рис.3 Рис.2

В школьных учебниках геометрии встречается следующая задача. Березовый сок полезный и вкусный напиток. Обычно его собирают за 4-7 дней до набухания почек. Для этого на стволе березы острым ножом делают две линии-засечки под углом 90° и вставляют желобок, по которому будет течь сок. Засечки нужно делать на высоте 70 см от того места, где начинаются корни (см. рисунок). Однако собирать сок можно только с деревьев, у которых диаметр ствола в месте засечек составляет не менее 30 см,иначе после сбора сока дерево может погибнуть! Как определить диаметр ствола березы на заданной высоте?

Ответим на два вопроса: на какой высоте от земли следует измерять диаметр дерева и зачем это надо делать? Для этого обратимся к рисунку из заметки «Как собрать сок?», опубликованной в газете «Комсомольская правда» 5 мая 2006 г., и воспользуемся приведенными на нем сведениями.

Ещё одна задача: Распилив бревно под каким-либо углом к его оси, мы увидим рисунок годовых слоев древесины. Что это за кривые с точки зрения геометрии? Трудно придумать более подходящий, живой и наглядный пример,чтобы показать, какие кривые могут получиться в сечении конуса различными плоскостями. Форма бревна близка к форме усеченного конуса, поэтому на спилах ствола, сделанных под разными углами,мы обнаружим кривые, внешне очень похожие на эллипс, окружность,параболу или гиперболу.

Годичные кольца говорят математику о том, что бревно можно рассматривать как систему «вложенных» усеченных конусов с общей осью. В сечении получаются: концентрические окружности эллипсы гиперболы параболы

Для полноты картины можно рассмотреть осевое сечение. Нетрудно установить, что если плоскость распила проходит в точности через ось бревна, то на срезе видно семейство пар симметрично расположенных относительно этой оси прямых, причем прямые, расположенные от нее по одну сторону, параллельны.

Используем ли мы эти знания на практике? Да, когда приходим в магазин за изделиями из дерева и обращаем внимание на красоту и необычность текстуры - естественного рисунка, образованного волокнами и слоями древесины. Вот какие древесные узоры можно обнаружить на паркетах, стенных панелях, дверях, мебели, разделочных досках, рамах картин и т.д.

Список информационных ресурсов Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. Издание седьмое, переработанное, под редакцией и с дополнениями Б. А. Кордемского. - Государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва Ленинград. bibliotekar.ru Волшебный мир дерева Тайны древесного ствола bibliotekar.ru Волшебный мир дерева Тайны древесного ствола «Комсомольская правда». 5 мая 2006 г.

Благодарим за внимание!