Метод областей Выполнили: ученицы класса Эк-11-1 Лисицына Аня и Самсонова Лена

Определение Метод областей – это аналог метода интервалов решения неравенств с одной переменной при решении неравенств с двумя переменными.

Задача В координатной плоскости переменных х и р изобразить множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству: (р-х 2 )(р+х-2)<0 (1)

Решение Первый шаг. Построение границ. (р-х 2 )(р+х-2)=0 = = р-х 2 =0 или р+х-2=0 = = р=х 2 или р=2-х. Первое равенство в плоскости (х;р) задает параболу, а второе – прямую. Как парабола, так и прямая разбивает плоскость (х;р) на две области. Для всех точек каждой области соответствующий множитель левой части неравенства (1) имеет фиксированный знак, который необходимо впоследствии определить.

Решение Прямая и парабола в зависимости от взаимного расположения разбивают плоскость на области в количестве от трех до пяти: три области, если прямая не пересекает параболу; четыре области, если прямая касается параболы, либо параллельна оси параболы; пять областей, если прямая пересекает параболу в двух точках.

Решение Для выявления конкретной ситуации необходимо найти общие точки параболы и прямой или доказать, что они не существуют. То есть нам нужно решить данную систему уравнений р-х 2 =0 р+х-2=0 Очевидно, что данная система имеет два решения, то есть определяет две точки, в которых прямая пересекает параболу, и таким образом задает пять различных областей.

Второй шаг. Определение знака в областях. Существуют два основных способа определения знака множителя ( или всего произведения): - способ прямого определения путем вычисления значения множителя для координат выбранной точки из данной плоскости. - аналитический способ.

Способ Ι– прямой счет. Парабола задает все точки плоскости, в которых множитель р-х 2 =0, и разбивает плоскость на две части- внутреннюю и внешнюю. Для внутренней части точки (0;1) множитель р-х 2 =1>0, а для внешней части точки (1;0) множитель р-х 2 =-1 0, а для всех точек внешней части р- х 2 <0, что отмечаем знаками «+» и «-» на соответствующих сторонах ветвей параболы. Совершенно аналогично устанавливается знак множителя р+х-2 в двух полуплоскостях относительно прямой, что также отмечается знаками «+» и «-» около прямой.

Решением задачи является заштрихованная область. р (- +) (- +) (+ -) М 1 (-2;4) 4 М 2 (1;1) (- +) х

Способ II- аналитический. Как и ранее будем определять знаки в областях, задаваемым одним множителем. Точки в которых первый множитель р-х 2 =0 есть парабола, разделяющая плоскость координат х и р на две части. Из точки на границе р-х 2 =0 можно двигаться в любую их областей и следить, как величина р-х 2 изменяется. В любую точку каждой из двух областей можно прийти либо по вертикали, либо по горизонтали, начиная движение из соответствующей точки границы (параболы).Указанные направления «движения» выбраны с тем, чтобы не изменять значение одной из переменных х или р.

Очевидно, что относительно переменной р выражение р-х 2 как функция является линейной, а относительно х – квадратичной. Поэтому легче, зафиксировав переменную х, отслеживать изменения величины р-х 2 в зависимости от р. Это значит, что мы будем двигаться вдоль вертикальных прямых х=х 0. Если из точки параболы р-х 2 =0 мы смещаемся вверх по вертикальной прямой во внутреннюю область, то ордината р будет увеличиваться, т.е. уменьшаемое в разности р-х 2 будет возрастать. Следовательно, от значения, равного нулю, множитель р-х 2 будет переходить к положительным значениям. И как мы уже говорили, двигаясь по вертикальной прямой, параметр р возрастает для всех точек внутренней области р-х 2 > 0 и параметр р убывает для всех точек внешней области р-х 2 < 0. Для множителя р+х-2 проводятся аналогичные рассуждения.

При всех значениях параметра а решить неравенство (х+а)(х-1)>0 а а >-х х х+а=0 а=-х а<-х

а х х х-1=0 х=1

+ - а х= х -- а=-х

+ - а х= х 3 4 х -а (х;а) -- а=-х

+ - а х= а х а (1;а) (-а;а) -- а=-х - + При а <-1, х є(- ;1)U(-а;+ )

+ - а х= а а х (-1;1) -- а=-х - + При а =-1, хє(- ;1)U(1;+ )

+ - а х=1 (-а;а) а (1;а) а х -- а=-х - + При а >-1,хє(- ;-а)U(1;+ )

Ответ: при а <-1, х є(- ;1)U(-а ;+ ), при а=-1, х є(- ;1)U(1;+ ), при а >-1, х є(- ;-а)U(1;+ ).