Исследовательская работа по математике Ученицы 10 класса Моториной Валерии

Иогану Кеплеру принадлежат слова: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении». Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось еще одно название – «золотая пропорция».

Пусть С АВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка. Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

Геометрически золотое сечение можно построить следующим образом: построим отрезок АВ, восстановим в точке В перпендикуляр к АВ на нем отложим точку D таким образом, чтобы BD = 0,5АВ. Далее, соединив точки А и D, отложим DE = BD, и наконец, АС = АЕ. Точка С является искомой, она производит «золотое сечение» отрезка АВ. В самом деле, заметим, что по теореме Пифагора (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2 а по построению АЕ = АС, ED = BD = 0,5AB.

Число обозначается буквой ф в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился в начале V века до н. э.), в творениях которого это число встречается многократно. Число ф – иррациональное, оно записывается так: ф = 0, Но в практике пользуются числом ф, взятым с точностью или до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6. Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62 % и 38 % всего отрезка.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы отношения ее сторон равнялось ф. Такой прямоугольник стали называть золотым. Построим золотой прямоугольник по описанным ниже указаниям, дошедшим до нас со времен Евклида. 1. Начертите квадрат и разделите его на два равных прямоугольника. 2. В одном из прямоугольников проведите диагональ АВ. 3. Циркулем проведите окружность радиуса АВ с центром в точке А. 4. Продолжите основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и проведите под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Золотой прямоугольник обладает интересными свойствами. Рассмотрим два из них, тесно связанных друг с другом. I свойство. Если от золотого прямоугольника со сторонами а и b (где а > b) отрезать квадрат со стороной b, то получится прямоугольник со сторонами b и а – b, который тоже золотой. Продолжая этот процесс мы каждый раз будем получить прямоугольник меньших размеров, но опять же золотой. I I свойство. Процесс, описанный выше, приводит к последовательности так называемых вращающихся квадратов. Если соединить противоположные вершины этих квадратов плавной линией, то получим кривую, которая называется золотой спиралью. Точка S, с которой она начинает раскручиваться, называется полюсом. Отрезки соединяющие точку S с точками спирали, называют полярными радиусами.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый. Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Много интересных свойств числа Ф можно увидеть в так называемом возвышенном треугольнике – равнобедренном треугольнике, у которого основание равно Ф, а боковые стороны Ф + 1. С помощью возвышенного треугольника можно доказать одно красивое отношение, связывающее число п и Ф:

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.) – храм Афины. Размеры Парфенона хорошо изучены. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и Известно, что диагональ прямоугольника имеет размер, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона. Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе В. Смоляка, посвященной изучению пропорции Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцевого фасада храма, Б. Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда: 1; ф; ф 2 ; ф 3 ; ф 4 ; ф 5 ; ф 6 ; ф 7 ; где ф = 0,618.

Гармоничные структуры мы называем словом «красота». Красивое тело построено по закону золотого сечения.

В 1850 г. немецкий ученый А.Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Представим себе, что две соседние ветки растения исходят из одной точки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами – ветками обозначим через a, а угол, дополняющий его до 360°, – через в. Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол в – большая часть этой величины. a = 360° – 222,48° = 137,52° » 138°. Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

ФИ ученика Длина кисти руки Длина ладони и Ширин а кисти руки Отношени е ширины кисти руки к длине Отношение длины ладонии к длине кисти руки Отношение длины пальцев к длине ладонии 1Антонникова Маргарита 17,59,5 0,54 0,84 2Ефимова Наталья 18,510,590,490,570,76 3Краснова Ольга 168,5 0,53 0,88 4Моторина Валерия 167,590,470,560,77 5Провоторова Екатерина 16,5990,55 0,83