Сложные задачи части С задачи с параметром « Математике нельзя научиться, глядя как это делает сосед! » А. Нивен

Функционально – графический метод решения задач с параметром Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их (Д. Пойа)

В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены, заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Пример: Решить задачу с параметром – это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи. параметры

х у х у a > 0 a < 0 D = 0, (1 корень) D < 0 (корней нет) D > 0, (2 корня) 0 0 Изменение параметров a, b, c меняет расположение параболы

(с помощью геометрических преобразований, на примере функции ) х у ( 2 ; 1) 01 1

Пусть дано уравнение f (x) = g (x). 1. Строим графики функций левой и правой частей уравнения у = f (x) и у = g (x). 2. Находим точки пересечения графиков. 3. Абсциссы точек пересечения и есть решения данного уравнения.

2. При а = 0 уравнение примет вид, и имеет корень х =0. 3. При a > 0 находим корни уравнения по формуле Ответ: при корней нет; при один корень х =0; при два корня 1. Левая часть уравнения неотрицательна при любом значении неизвестной х, при a < 0 решений нет. х у 0 у = а «СМОТРИ !» 1 способ (аналитический) 2 способ (графический)

у При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение ? Запишем уравнение в виде: х Построим графики функций: - угол с вершиной (2; 3) Ответ: при а = 3 и подвижную прямую у = а. у = а 0

При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений ? х у Построим график Из рисунка видно, что и прямую у = а при a < -1 решений нет. у = а Ответ: при a <

(Графический способ решения задач с параметром) Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) =0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию Схема решения: !!!

Указать количество корней уравнения f(x) = а при всех значениях параметра а. 1 х а корень, а < -5 2 корня, а = корня, -5< a < -2 4 корня, а = -2 5 корней, -2< a <1 4 корня, а = 1 3 корня, 1< a <3 2 корня, а =3 1 корень, а > 3 Ответ: 1 корень при a 3 2 корня при а = -5, а = 3 3 корня при 1< a <3 и -5< a <-2 4 корня при а = -2 и а = 1 5 корней при -2< a <1 0

х у у При каких значениях параметра а уравнение f (x) = a имеет два корня? х у х

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2 х - а = х имеет единственное решение. Правая часть этого уравнения задает неподвижный угол с вершиной (-3; -1), 2 х у АВ Решение. левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс.

Очевидно, что исходное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А или точку В, где А(-4; 0), В(-2; 0) координаты этих точек удовлетворяют уравнению 2 х - а= у Ответ: В 2 х у А Решим уравнение х = 0;х + 3= 1;х + 3 = ± 1; х = - 4 или х = - 2

1)При а = 3 Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня. Исходное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня в 3 случаях х а а 1 = 3 а 2 = ? а 3 = ? Тогда а 2 = = 5; Ответ: 8 2) При x < 4, 3) При х > 4, а 2 = 5 а 3 а 3 0 где а > 0, так как = 8;

Покажем, как составляют задачи с параметром авторы КИМ ГИА 1. Возьмем два уравнения 2. Построим их графический образ. 3. Заменяем букву у параметром а, и записываем уравнение с параметром. 4. По рисунку формулируем условие задачи.

- 1 х -3 При каких значениях параметра а данное уравнение имеет одно решение? у а Ответ: при а = -3 а = -3 0

Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно три корня? Ответ: х а а = -1 0