Подготовка к ГИА Учитель Шпунтова О.Н. МОУ СОШ 26 имени А.С.Пушкина города Смоленска учебный год Простейшие задачи по теории вероятностей по теории вероятностей

Содержание Немного теории. Немного теории. комбинаторика комбинаторика метод перебора вариантов; метод перебора вариантов;метод перебора вариантов;метод перебора вариантов; правило умножения ; правило умножения ;правило умножения ;правило умножения ; перестановки; перестановки;перестановки; достоверные, невозможные, случайные события; достоверные, невозможные, случайные события; достоверные, невозможные, случайные события; достоверные, невозможные, случайные события; классическое определение вероятности. классическое определение вероятности.классическое определение вероятности.классическое определение вероятности. Примеры решения задач. Примеры решения задач. Примеры решения задач. Примеры решения задач. Задачи для самостоятельного решения. Задачи для самостоятельного решения.Задачи для самостоятельного решения.Задачи для самостоятельного решения. Проверь себя! Проверь себя!Проверь себя!Проверь себя!

Мы часто говорим «это вероятно», «более вероятно, что..», «можно утверждать со стопроцентной вероятностью …», «маловероятно». Происходит это тогда, когда мы пытаемся спрогнозировать наступление какого-то события. Говоря так, мы чаще всего опираемся на свой жизненный опыт, интуицию, здравый смысл и т.д. Бывает, что таких приблизительных оценок не достаточно: нужны точные количественные оценки, нужно численно характеризовать наступление того или иного события. Раздел математики, который занимается исследованиями этих количественных оценок случайных событий, называется теорией вероятностей.

Основателями теории вероятностей считают Пьера Ферма и Блёза Паскаля. Эти французские учёные XVII века первыми нашли ключ к составлению количественной оценки вероятности события. Они использовали метод, который позже был назван комбинаторным анализом, или, проще, комбинаторикой. Пьер Ферма Блёз Паскаль

Метод перебора вариантов П1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 8? (Цифры в записи не повторяются). Решение. Как можно записать трёхзначное число? записываем цифру разряда сотен записываем цифру разряда десятков записываем цифру разряда единиц

Комментарий. В приведенном примере возможных вариантов не очень много, поэтому все их мы смогли перечислить, или, как говорят, перебрать все возможности. В этом и состоит суть метода перебора. Мы организовали его с помощью схемы, которая называется деревом возможных вариантов.

П2. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора? Решение. 1 способ Пронумеруем лампочки и будем писать «+» или «-» в зависимости от того, горит или не горит данная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить: Всего 8 способов.

2 способ первая лампочка вторая лампочка третья лампочка третья лампочка третья лампочка третья лампочка

Правило умножения Перебор возможных вариантов удобно применять тогда, когда этих вариантов не так много. А как быть если их, к примеру, больше сотни? В этих случаях удобнее применять правило умножения. Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

П2. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора? Решение. Вернёмся к примеру 2, попробуем решить его с помощью правила произведения. Способ 3 1)Первая лампочка может гореть, а может не гореть. Т.о. для первой лампочки возможно 2 различных исхода. 2)Вторая лампочка может гореть, а может не гореть. Т.о. для второй лампочки возможно 2 различных исхода. 3)Третья лампочка также может гореть или не гореть, значит для неё возможны 2 исхода. По правилу умножения подсчитаем число всех возможных вариантов: N=2·2·2=8. Ответ: 8.

Перестановки П3. В пятницу в 9Б классе должно быть шесть уроков: алгебра, история, русский язык, английский язык, физика, физкультура. Сколько вариантов расписания для 9Б можно составить на пятницу? Решение. предмет На первое место мы можем выбрать 6 различных предметов. Число исходов – 6. Заполняем вторую ячейку. Сюда можно поставить любой из пяти оставшихся предметов. Число исходов – 5. Третий урок. Здесь можно вписать любой из оставшихся 4, а значит и число исходов – 4. В четвёртую строку можно вписать любой из оставшихся трёх предметов. Число исходов – 3. В пятую строку впишем один из оставшихся 2 предметов. Число исходов – 2. Последнее место займёт тот предмет, что остался. Число исходов – 1. По правилу умножения N=6·5·4·3·2·1=6!=720. Вариантов расписания 720.

П4. В семье 4 человека, а за столом на кухне расставлены 4 стула. Каждый вечер за ужином они решили рассаживаться по-новому. Сколько дней члены этой семьи смогут сделать это без повторений? Решение. Пронумеруем стулья на кухне: 1, 2, 3, 4. а каждому члену семьи поставим в соответствие: А, Б, В, Г Будем считать, что члены семьи А, Б, В, Г занимают места по очереди. Выясним сколько различных способов рассаживания существует. Пусть первым садится А, у него есть 4 способа выбрать стул. Вторым садится Б, для него остаётся 3 способа выбора стула. Третьим садится В, для него существует 2 выбора стула. Последним на оставшийся стул сядет Г. По правилу умножения N= =4!=24.

Заметили общее в этих задачах? Условия у них разные, а способ решения одинаковый. В основе решения таких задач лежит теорема о перестановках элементов конечного множества. n различных элементов можно расставить на n различных мест ровно n! способами. n! – произведение первых n натуральных чисел. (эн факториал). 12!=

Достоверные, невозможные, случайные события Достоверные, невозможные, случайные события Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием. П. После 7 февраля обязательно наступит 8 февраля. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием. П. Заката солнца сегодня не будет. Событие, которое в данном опыте как наступить, так и не наступить, называют случайным событием. П. Завтра будет солнечный день.

Вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события – как нулевая. Учитывая, что 100% равно 1, математики договорились о следующем: 1. Вероятность достоверного события считается равной 1; 2. Вероятность невозможного события считается равной 0. классическое определение вероятности. А как подсчитать вероятность события, если оно произошло случайно? Об этом вы узнаете в разделе классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности Для нахождения вероятности события А при проведении некоторого опыта следует: 1)найти число N всех возможных исходов данного опыта; 2) принять предположение о равновероятности всех возможных исходов; 3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А; 4) найти частное ; оно и будет равно вероятности события А.

П5. Найдите вероятность того, что при бросании кубика выпадет не более 4 очков. Решение. При бросании кубика может выпасть: 1)6 очков; 2)5 очков; 3)4 очка; 4)3 очка; 5)2 очка; 6)1 очко. Всего 6 возможных исходов. Принимаем положение о равновероятности этих исходов. Выясним, сколько исходов будут для нас благоприятными (выпадет не более 4 очков). Таким образом, интересующее нас событие произойдёт в 4 случаях. Ответ:.

1 Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5. Решение. 1)Выясним сколько различных трёхзначных чисел можно записать. Первую цифру мы можем выбрать 9-ю способами (все цифры, кроме нуля); вторую – 10-ю способами; третью – 10-ю способами. Значит, число возможных исходов N= =900. Все исходы равновероятны. 2)Определим количество благоприятных исходов (число делится на 5). Очевидно, что эти числа заканчиваются 0 и 5. В каждой сотне по 10 чисел, заканчивающихся на 0 и по 10 чисел, заканчивающихся на 5, т.е. всего в каждой сотне «нужных» нам чисел по 20. Сотен всего 9, значит N(A)=20 9=180. 3) Находим вероятность: Ответ: 0,2.

2. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет. Решение. 1)Когда Маша включает телевизор, то может показывать один любой канал из 20. Значит, число всех возможных исходов 20. Все эти исходы равновероятны. N=20. 2)Если при включении телевизора начнёт работать канал, где нет комедии (событие А), то это благоприятный исход. Таких каналов всего 20-3=17. N(A)=17. 3)Находим вероятность интересующего нас события. Ответ: 0,85.

3. 3. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение. 1)Наташа берёт пирожок с тарелки. Взять она может любой из 12, что там лежат. Возможных исходов события 12. Все эти исходы равновероятны. N=12. 2)Если пирожок, что взяла Наташа оказался с вишней (событие А), то это благоприятный исход. Таких пирожков всего 3. N(A)=3. 3)Находим вероятность интересующего нас события. Ответ: 0,25.

4. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 жёлтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси. Решение. 1)Всего свободно 20 машин и на вызов может приехать любая из них. Возможных исходов события 20. Все эти исходы равновероятны. N=20. 2)Если приехало жёлтое такси (событие А), то это благоприятный исход. Таких машин свободно всего 4. N(A)=4. 3) Находим вероятность интересующего нас события. Ответ: 0,2.

5. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 синие, 7 зеленые, остальные красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке. Решение. 1)Всего на колесе 24 кабинки. Миша с папой могут сесть в любую из них. Возможных исходов события 24. Все эти исходы равновероятны. N=24. 2)Если в тот момент, когда подойдёт очередь Миши и папы, к платформе подойдёт красная кабинка (событие А), то это благоприятный исход. Таких кабинок всего 24-(5+7)=12. N(A)=12. 3)Находим вероятность события А: Ответ: 0,5.

6. На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение. 1)Всего на экзамене 50 билетов. Руслан может вытянуть любой из них. Возможных исходов события 50. Все эти исходы равновероятны. N=50. 2)Если Руслан вытянет один из выученных билетов (событие А), то это благоприятный исход. Таких билетов всего 50-5=45. N(A)=45. 3)Находим вероятность события А: Ответ: 0,9.

7. Коля наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 3. Решение. 1)Всего двузначных чисел 90. Коля может выбрать любое из них. Возможных исходов события 90. Все эти исходы равновероятны. N=90. 2)Если Коля выберет число, которое заканчивается цифрой 3(событие А), то это благоприятный исход. Таких чисел всего 9. N(A)=9. 3)Находим вероятность события А: Ответ: 0,1.

8. На соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступления определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России. Решение. 1)В результате жеребьёвки любая из гимнасток может вытянуть 1. Возможных исходов события 3+3+4=10. Все эти исходы равновероятны. N=10. 2)Если 1 окажется у российской гимнастки (событие А), то это благоприятный исход. Гимнасток из России всего 3. N(A)=3. 3)Находим вероятность события А: Ответ: 0,3.

9. Одновременно бросают две монеты. С какой вероятностью на них выпадут две решки? Решение. орёл решка орёл решка 1)Переберём все возможные варианты, что могут получиться при подбрасывании двух монет. Результаты занесём в таблицу. 2) Очевидно, что возможных исходов события 4. Все эти исходы равновероятны. N=4. 3) Если выпадают две решки (событие А), то это благоприятный исход. Такая возможность единственная. N(A)=1. 4) Находим вероятность события А: Ответ: 0,25.

Вася выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по 10 каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут На тарелке 15 пирожков: 4 с мясом, 9 с капустой и 2 с вишней. Катя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с капустой. Проверь себя! В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 11 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Максим с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 13 синие, 7 зеленые, остальные оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке. Проверь себя! У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами. Проверь себя! Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной. Проверь себя!

В среднем из каждых 90 поступивших в продажу аккумуляторов 84 аккумулятора заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен. Проверь себя! Записывается наудачу некоторое двузначное число. Какова вероятность того, что в этом числе встречается цифра 3? Проверь себя! Одновременно бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 4? Проверь себя! В кастрюле находятся 2 вареника с перцем, 3 - с солью, один - с монетой и 24 обычных вареника без добавок. Какова вероятность вытащить вареник с добавкой?

Ответы к задачам для самостоятельного решения /6 1/ /9 7/ ,6 0, /21 8/ /3 1/ ,75 0, ,6 0, /15 1/ ,2 0, /12 1/ ,2 0,2