Правильная пирамида Выполнила: Белякова Екатерина
Задачи 257 Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды. 261 Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны. 263 В правильной пирамиде MABCD точки K, L и N лежат соответственно на рёбрах BC, MC, AD, причём KNІІ BA, KLІІ BM. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите вид сечения. б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости AMB.
Т.к DABC – правильная пирамида, то точка О – основание высоты DO, есть центр правильного треугольника ABC. Построим OE _I_ BC и отрезок DE. По теореме о 3-х перпендикулярах DE_I_BC, тогда DEO – линейный угол двугранного угла при основании, DEO= 45°. В правильной пирамиде все углы при основании одинаковы. DO=OE=h, тогда DE=h2. OE=h=r, где r- радиус вписанной окружности. Пусть сторона правильного ABC=x. Sabc=x^23/4, p=3x/2, r=Sabc/p. r=h=x3*2/4*3x=x/23, x=23h, тогда Sabc= 33h^2. Sbcd=1/2 x* DE= h^26, as бок =3Sbcd= 36h^2. Значит Sпов= Sabc+S бок= 33h^2+ 36h^2= 33h^2(2+1). Ответ: 33h^2(2+1) АC D E O B
Пусть DO – высота правильной пирамиды, а О – центр ABC. Продолжим АО до пересечения с BC в точке K. AO – биссектриса BAC, следовательно AK – тоже биссектриса в ABC, т.е AK – медиана и высота, AK_I_BC. По теореме о 3-х перпендикулярах DK_I_BC. Т.к BC_I_DK и BC_I_AK, то BC_I_пл.APK. Тогда BC_I_ AD. Т.к ABC правильный, то доказательство справедливо для любой пары скрещивающихся рёбер. Значит, DC_I_AB, AC_I_DB. Что и требовалось доказать. А B C D O K
Т.к. по условию KN||BA, то KN||CD, значит ЛТ//пл.CMD. а) Т.к секущая плоскость LKN проходит через прямую KN|| пл.CMD, и пересекает эту плоскость в(т.L принадл. этой пл.), то линия пересечения, проходящая через т.L, будет параллельна KN. Значит построим LE||CD и в плоскости грани ADM построим NE. Искомое сечение – 4-угольник KLEN, LE||KN, следовательно KLEN – трапеция. б) KL||MB и KN||AB (по условию), следовательно по признаку параллельности двух плоскостей, плоскости AMB и KLN параллельны. АB CD NK L E M