1 Курс лекций Доцент кафедры ИВТ, к.п.н. Векслер В. А.

2

3 Основные понятия комбинаторики: понятия множеств неупорядоченного и упорядоченного. Примеры множеств: А – руководство организации В – группа старшеклассников Примеры числовых множеств: А={1; 2;5;7} В=(1; 2; 5; 7} С= {7; 5; 2; 1} Операции с множествами: В лаборатории работают несколько человек, причем каждый из работников знает хотя бы один иностранный язык. Английский знают 6 чел., французский – 7 чел., немецкий - 6 чел., английский и немецкий – 4 чел., немецкий и французский – 3 чел., английский и французский – 2 чел., все три языка знает один чел. Сколько человек работает в лаборатории? Сколько сотрудников знает только французский язык?

4 Основной принцип комбинаторики 1. В продаже 5 видов мороженного и 6 видов булочек. Сколько вариантов покупки «мороженное и булочка» существует? 2. В урне находятся 10 белых, 15 черных и 20 красных шаров. Сколькими различными способами можно взять из урны 3 шара разных цветов? 3. Имеется А различных пронумерованных ячеек и а различных между собой частиц. Каждая из а частиц может находится в любой из А ячеек, при этом в любой ячейке может оказаться любое число частиц. Подсчитать сколькими различными способами можно разместить а частиц в А ячейках. 4. Пусть из пункта А в В существуют 5 дорог, а из пункта В в С – 6 дорог. Сколько существует различных вариантов проезда из А в С? Сколько существует различных вариантов проезда из А в В и обратно? Сколько существует различных вариантов проезда из А в В и обратно, при условии что дороги туда и обратно будут различными?

5 Размещения с повторением 1. Имеются 6 видов цвета: красный, желтый, зеленый, синий, белый, черный. Сколько комбинаций цветов можно составить из четырех цветных карточек? 2. Сколько подмножеств из 3-х элементов можно составить из множества первых пяти натуральных чисел, так что числа могут повторятся? 3. Сколько разных символов можно закодировать одним байтом информации т.е. с помощью последовательности 8 нулей и единиц?

6 Размещения без повторений Размещения без повторений:

7 1. Заявка команды по мини-футболу для участия в матче насчитывает 9 человек. На площадке одновременно могут находится 5 игроков: вратарь, левый и правый защитники, левый и правый нападающие. Сколько разных команд может выйти на площадку в начале игры? 2. Перед выпуском группа студентов в 30 человек обменялись фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек? I

8 Перестановки без повторений Перестановки без повторений: Пример. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по 10 местам за праздничным столом?

9 Сочетания Сочетания: = Теорема: Число сочетаний обладает следующим свойством

10 Пример: Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек? Задания: 1. В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берутся 5 деталей. Найти число различных способов взятия 5-ти деталей, среди которых ровно 3 бракованных. 2. Из колоды в 36 карт наудачу берутся 6 карт. А) Найти число различных способов взять 6 карт В) Найти число различных способов взятия 6-ти карт содержащих i тузов. С) Найти число различных способов взятия 6-ти карт, содержащих хотя бы один туз

11 Комбинаторные задачи: 1. Сколькими способами из группы, включающей 25 студентов, можно выбрать актив группы в составе старосты, профорга, физорга? 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений (с повторениями) ? 3. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате? (Команды играют друг с другом только один раз) 4.Задача. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом? 5. Решить уравнение + 2x = 9

12

13 Испытание (опыт) Случайное событие Достоверное событие Невозможное событие Совместимые события Несовместимые события Полная система событий Равновозможные события Сумма событий Произведение событий

14 n – число опытов m – число исходов, благоприятствующих появлению события А P(А) – обозначение вероятности события А Вероятность наступления события А Задача: 1. Лежат 8 пронумерованных от 1 до 8 талонов. Какова вероятность, что наудачу выбранный талон обозначен цифрой «6». 2. Код банковского сейфа состоит из 5 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код подойдет.

15 Следствия: 1. Вероятность достоверного события равна единице т.е. m = n и P (А) =1 2. Вероятность невозможного события равна нулю т.е. P (A)=0 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице. 4. Вероятность наступления противоположного события равна разности между единицей и вероятностью наступления события А

16 Пример. Какова вероятность появления четного числа очков при одном бросании игрального кубика (двух кубиков, трех кубиков)? Задания: 1. В пакете лежат 6 одинаковых талонов, на каждом из которых напечатана одна из 6 букв: А, В, К, М, О, С. Эти талоны вынимают из пакета по одному и укладывают рядом по прямой линии. Какова вероятность, что в результате получится слово «Москва»? 2. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

17 Задачи: 1. В группе 15 студентов, в том числе 8 отличников. Наугад выбраны 9 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников. 2. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что среди 5 выбранных вагонов для контрольного вскрытия окажутся вагоны с номерами 2 и Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции 6 АО. Какова Вероятность того, что среди купленных акций, 2 окажутся банкротами?

18 Теорема сложения вероятностей (появление хотя бы одного события) : Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если АВ =0, то Р (А + В) = Р (А) + Р (В) Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления: Р (А +В) = Р (А)+Р (В) –Р (А В)

19 ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ. Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице.

20 Теорема умножения вероятностей (одновременное появление событий) События: зависимые и независимые Теорема 1: Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А)* Р А (В) Теорема 2: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е. Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

21 Пример: В коробке 9 одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течении рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении? Пример. Вероятность поломки первого станка в течении смены равна 0,2, а второго – 0,13. Чему равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течении смены? Задания: 1. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность, что все они мужчины. 2. Произошли 2 события при бросании игральной кости: А – выпало четное число очков, В – число выпавших очков делится на 3. Являются ли события А и В зависимыми?

22 Решение задач: 1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна р =0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. А) Найти вероятность того, что все 3 выстрела дали попадание. Б) Найти вероятность того, что 2 выстрела дали попадание 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р 1=0,8; р 2=0,7; р 3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А), при одном залпе из всех орудий. 3. Студент разыскивает нужную ему форму в 3-х справочниках. Вероятность того что формула содержится в 1-м,2-м, 3-м справочниках, соответственно равна 0.6, 0,4, 0.9. Найти вероятность того, что формула содержится А) только в одном справочнике Б) во всех трех справочниках В) ни в одном справочнике

23 Формула полной вероятности. Теорема: Р(А)= Р(Нi)*P Hi (A). где Р(Нi)=1 Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий Н 1,Н 2,….Н n, образующих полную группу попарно несовместных событий

24 Пример: На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность 1-го станка за смену составляет 40 деталей, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2,3 и 5% продукции этих станков соответственно имеют скрытые дефекты. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность, что она нестандартная?

25 ЗАДАНИЕ: На сборочный конвейер поступают детали, изготовленные на трёх станках. Производительность станков не одинакова. Первый даёт 50 % программы, второй–30 %, а третий 20 %. Если в сборку попадает деталь, деланная на первом станке, то вероятность получения годного узла равна 0,98. Для продукции второго и третьего станков соответствующие вероятности равны 0,95 и 0,8. Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера годный.

26

27 Формула Бернулли. Если производится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что событие А появится ровно m раз, выражается формулой, где q = 1 – p Случай 1. Якоб Бернулли ( )

28 ПРИМЕР: Вероятность попадания в цель составляет при одном выстреле p = 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при 6 выстрелах. ПРИМЕР: Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность,что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 4?

29 Теорема Лапласа (Локальная). Пусть p=P(A)-вероятность события А, причем 0<p<1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событие А при n испытаниях появится точно m раз, выражается приближенной формулой Лапласа, npq>=10 где q=1-p и Случай 2 Пьер-Симо́н Лапла́с ( )

30 Введя функцию φ (t)= φ (t), P n (m)

31 φ (t),

32 ПРИМЕР: Вероятность того, что станок- автомат производит годную деталь, равна 8/9. За смену изготовлено 280 деталей. Определить вероятность того, что среди них 20 бракованных. ПРИМЕР: Стрелок выполнил 200 выстрелов. Найди вероятность 150 попаданий, если вероятность попаданий при каждом выстреле равна Задания: 1. Вероятность рождения мальчика равна Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. 2. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность не появления этого события в каждом испытании 0.4.

33 Формула Пуассона =nр Случай 3 Симео́н Дени́ Пуассо́н ( ) Задание: В новых микрорайонах установлено новых замков на входных дверях. Вероятность выхода из строя одного замка в течении месяца Найдите вероятность того, что за месяц откажут ровно 3 замка.

34 ПРИМЕР: Завод отправил 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути разбили одно изделие Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 1)3 изделия 2)1 изделие 3)не более трех изделий 4) Больше одной 5) хотя бы одна ПРИМЕР: Известно, что в принятой для сборки партии 1000 деталей имеются 4 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 наудачу взятых деталей нет дефектных.

35 Интегральная теорема Лапласа dt x Ф(x) 0 0,192 0,341 0,433 0,477 0,4940,499 Случай 4

36 Функция Ф (x) обладает следующими свойствами : Ф (0)=0 ; функция Ф (x) нечётная, т.е. При x > 5 c точностью до тысячных, можно принять 0,5 -0,5

37 Пример: Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия равна при отдельном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что число попаданий при 900 выстрелах будет заключено в границах чисел 690 и 740. Пример: Стрелок выполнил 400 выстрелов, вероятность одного попадания 0,7. Найти вероятность того что он попадет с 300 до 350 раз

38

Пусть Х дискретная случайная величина, возможными значениями которой являются числа х 1, х 2, …, х n. Вероятности возможных значений случайной величины обозначаются Р 1, Р 2, …, Р n. Обязательно принято, что сумма возможных значений вероятностей равна 1. Случайная величина (СВ): -дискретная (ДСВ) -непрерывная (НСВ)

Х – ДСВ Значения: x 1,x 2,...x n,... p i =P(X=x i ) Форма задания ДСВ: таблица распределения x1x1 x2x2...xnxn p1p1 p2p2 pnpn Соответствием между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины. Многоугольник распределения Биноминальный закон распределения вычисляется по формуле Бернулли

Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Построить многоугольник распределения.

F(x)=P(X<x) Функция распределения Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения Функцией распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х.

xnxn x1x1 x2x2...xnxn p1p1 p2p2 pnpn

ПРИМЕР: Составить функцию распределения для дискретной величины Х – числа появления события А при 3 независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность равна треть.

Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание Дисперсия Среднеквадратичное отклонение

Задан закон распределения: На основании этой задачи имеет место формула : Математическое ожидание есть сумма произведений случайной величины на соответствующие вероятности. Хх 1 х 2…хnхn pp1p2...pnpn Математическое ожидание

Запишем для дисперсии случайной величины формулу в виде: D(x) = M(x 2 ) - [M(x) ] 2 Для среднего квадратичного отклонения имеет место формула: σ = D(x) Основные свойства дисперсии: D(с) = 0 D(x+у) = D(x) = D(у) D(сx) = с 2 D(x)