Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей. Лекция 2 1. Частота, или статистическая вероятность события m - число появления события A; n – общее число. - презентация

1 Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей

2 Лекция 2 1. Частота, или статистическая вероятность события m - число появления события A; n – общее число произведенных опытов

3 Лекция 2 2. Сумма и произведение событий C=A+B Суммой двух событий A ив называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B Суммой двух событий A ив называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B

4 Лекция 2 A0– ни одного попадания, A0– ни одного попадания, A1– ровно одно попадание, A1– ровно одно попадание, A2– ровно два попадания, A2– ровно два попадания, A3- ровно три попадания, A3- ровно три попадания, A4– ровно четыре попадания, A4– ровно четыре попадания, A5– ровно пять попаданий A5– ровно пять попаданий A= A0 + A1 + A2 - есть событие «не более двух попаданий» A= A0 + A1 + A2 - есть событие «не более двух попаданий» В= A3 + A4 + A5 - есть событие «не менее трех попаданий» В= A3 + A4 + A5 - есть событие «не менее трех попаданий»

5 Лекция 2 С=А*В С=А*В Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном выполнении события A и события B Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном выполнении события A и события B

6 Лекция 2 B1– промах при первом выстреле, B1– промах при первом выстреле, B2– промах при втором выстреле, B2– промах при втором выстреле, B3- промах при третьем выстреле, B3- промах при третьем выстреле, B= B1 B2 B3 состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания. B= B1 B2 B3 состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

7 Лекция 2

8 Если событие B есть частный случай события A, то

9 Лекция 2

10 3. Теоремы сложения вероятностей Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т. е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

11 Лекция 2 Теорема 2. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий А 1, А 2, А 3, …,А n равна сумме вероятностей этих событий Р(А 1 +А 2 +А 3 +…+А n )=Р(А 1 )+Р(А 2 )+...+Р(А n ) Р(А 1 +А 2 +А 3 +…+А n )=Р(А 1 )+Р(А 2 )+...+Р(А n )

12 Лекция 2 Теорема 3. Если события А и В совместны то вероятность их суммы выражается формулой Р(A+B) = Р(A)+Р(В) - Р(AВ) Для трех совместных событий Р(A+В+С)=Р(A)+Р(B) +Р(С)-Р(AВ)-Р(ВС)- Р(AС)+ Р(AВС) Р(AС)+ Р(AВС)

13 Лекция 2 Пример. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков. A«выпадение шести очков при бросании первой игральной кости»; В«выпадение шести очков при бросании второй игральной кости». Так как события A и В совместны, то Р(A+В)=Р(A)+Р(B)Р(AВ). Р(A)=1/6, Р(В)=1/6 и Р(AB)=1/36 поэтому P (A+B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

14 Лекция 2 Следствие 1. Если события А 1, А 2,…,А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице, т. е. P(A 1 ) + P(A 2 ) +….+ P(A n ) = 1 Следствие 2. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

15 Лекция 2 4. Теоремы умножения вероятностей Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается P(A | B) P(A | B)

16 Лекция 2 Теорема умножения вероятностей: Пример. В учебных мастерских техникума изготовляются детали на двух станках. Вероятность изготовления детали на первом станке равна 0,6. Вероятность появления годной детали на первом станке равна 0,8. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена на первом станке. А«деталь изготовлена на первом станке» В«деталь годная» Р(А)=0,6, Р(В|А)=0,8 Р(АВ)=Р(А) Р(В|А) = =0,48.

17 Лекция 2 Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т. е. Р(АВ)=Р(А) Р(В) Для независимых событий А 1, А 2, А 3, А 4,…, А n справедливо равенство Р(А 1 А 2, А 3, А 4…, А n )=Р(А 1 ) Р(А 2 )... Р(А n )

18 Лекция 2 Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н 1, Н 2…, Нn, образующих полную систему попарно несовместных событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: Р(А)= Р(Н 1 ) P(A|Н 1 )+Р(Н 2 ) Р(A|Н 2 ) +…+Р(Н n ) Р(A| Н n )

19 Лекция 2 Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А 1, А 2,…А n равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

20 Лекция 2 5. Формула Байеса Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В 1 А), Р(В 2 А), … Р(В n А). Апостериорные вероятности представляют собой условные вероятности Р(В 1 А), Р(В 2 А), … Р(В n А).

21 Лекция 2 Пример. Детали в сборочный цех поступают с трех заводов. Первый завод поставляет 60% деталей, второй - 30%, третий – 10%. Вероятность брака первого завода 0,02, второго – 0,01, третьего – 0,04. Определить вероятность того, что в собранную партию исправленных изделий попали изделия первого, второго и третьего предприятия. Событие А - деталь исправна. Р(А) – полная вероятность того, что изделие исправно. Р(В 1 А), Р(В 2 А), Р(В 3 А) – условные вероятности того, что исправное изделие изготовлено на первом, втором и третьем предприятиях соответственно. Р(А В 1 ), Р(А В 2 ), Р(А В 3 ) – вероятности того, что изделие, изготовленное на первом, втором и третьем предприятиях исправно.

22 Лекция 2 Р(А) – вероятность того, что изделие, пришедшее в сборочный цех, исправно. Таким образом, дано: Р(АВ 1 )=0,98Р(А В 2 )=0,99Р(А В 3 )=0,96 Р(В 1 )=0,6Р(В 2 )=0,3 Р(В 3 )=0,1 Требуется определить Р(А), Р(В 1 А), Р(В 2 А), Р(В 3 А) Решение: Р(А)=Р(В 1 )*Р(АВ 1 )+Р(В 2 )*Р(АВ 2 )+Р(В 3 )* Р(АВ 3 )= =0,6*0,98+0,3*0,99+0,1*0,96=0,981

23 Лекция 2 Проверка 0,599+0,303+0,098=1 Вывод: количественная переоценка доли предприятий в партии исправных деталей составляет: первое предприятие 59,9%, второе – 30,3%, третье – 9,8%.