Меню Узагальнення знань Автор Вихід

Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Вихід

Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Вихід

Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Вихід

Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Вихід

Паралелограм Прямокутник Ромб Квадрат Вихід

Вихід Меню Теорія Задачі Тест

Вихід Меню Теорія Задачі Тест

Вихід Меню Теорія Задачі Тест

Вихід Меню Теорія Задачі Тест

A B C D Означення Властивості Ознаки Елементи Назад

означ A B C D Означення Властивості Ознаки Елементи Назад Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. AB || CD BC || AD

A B C D Означення Властивості Ознаки Елементи Назад Сторони – A B, BC, CD, AD. Вершини – A, B, C, D. Кути – A, B, C, D. Діагоналі – AC, BD. Висоти – ВМ, ВК. М К

власт A B C D Означення Властивості Ознаки Елементи Назад Властивість 1. У паралелограма протилежні сторони рівні. Властивість 2. У паралелограма протилежні кути рівні. Властивість 3. Діагоналі паралелограма діляться навпіл точкою їх перетину. AB = CD BC = AD < A = < C < B = < D O AO = OC BO = OD

ознаки A B C D Означення Властивості Ознаки Елементи Назад Ознака 1. Якщо у чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то такий чотирикутник – паралелограм. Ознака 2. Якщо у чотирикутника дві протилежні сторони рівні і паралельні, то такий чотирикутник – паралелограм. Ознака 3. Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник – паралелограм.

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі. < A = < B = < C = < D = 90 ° AB = CD ; BC = AD

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Так як прямокутник є паралелограмом, то його елементи такі ж самі, як і у паралелограма. Елементи паралелограма описані тут…

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Властивість 1. Прямокутник має всі властивості паралелограма: Властивість 2. Діагоналі прямокутника рівні. AC = BD O AB = CD, BC = AD < A = < C, < B = < D AO = OC, BO = OD

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Ознака 1. Якщо чотирикутник є паралелограмом і у нього всі кути прямі, то такий чотирикутник – прямокутник. Ознака 2. Якщо чотирикутник є паралелограмом і його діагоналі рівні, то такий чотирикутник – прямокутник.

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A C D Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. AB = BC = CD = AD B

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A C D B Так як ромб є паралелограмом, то його елементи такі ж самі, як і у паралелограма. Елементи паралелограма описані тут…

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A C D B Властивість 1. Ромб має всі властивості паралелограма: Властивість 2. Діагоналі ромба перпендикулярні. AC BD AB = CD, BC = AD < A = < C, < B = < D AO = OC, BO = OD O Властивість 3. Діагоналі ромба ділять його кути навпіл. < DAO = < DAO < ABO = < CBO

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A C D B Ознака 1. Якщо чотирикутник є паралелограмом і у нього всі сторони рівні, то такий чотирикутник – ромб. Ознака 2. Якщо чотирикутник є паралелограмом і його діагоналі взаємно перпендикулярні, то такий чотирикутник – ромб.

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні. AB = BC = CD = AD < A = < B = < C = < D = 90 °

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Так як квадрат є прямокутником, а значить, він є паралелограмом, то його елементи такі ж самі, як і у паралелограма. Елементи паралелограма описані тут…

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Квадрат має всі властивості паралелограма, прямокутника і ромба: AB = CD, BC = AD < A = < C = < B = < D = 90° AO = OC, BO = OD AC = BD AC BD < DAO = < DAO < ABO = < CBO O

Означення Властивості Ознаки Елементи Назад A B C D Ознака 1. Якщо чотирикутник є прямокутником, у якого всі сторони рівні, то такий чотирикутник – квадрат. Ознака 2. Якщо чотирикутник є прямокутником, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні, то такий чотирикутник – квадрат.

1234 Знайдіть кути паралелограма, якщо один з них на 50° менше за другий. A B C D Розвязання Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то <A = <C, <B = <D. Отже за умовою задачі кут А на 50° менше за кут С. Нехай <B = x°, тоді <A = (x – 50)°. За властивістю кутів паралелограма <A + <B = 180°, отже x + x – 50 = 180 2x – 50 = 180 2x = 230 x = 115 <B = 115°, <A = 115° – 50° = 65° <C = 65°, <D = 115° x- 50 x

1234 За даними малюнка знайдіть периметр паралелограма. Розвязання A B C D К 30° 3 см Розглянемо АВК – він прямокутний. <B = 30°, тоді за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30° АВ = 2АК. Отже АВ = 6 см. За умовою AK = KD = 3 см. Отже AD = 6 см. За властивістю протилежних сторін паралелограма AB = CD, BC = AD, а значить P = 2(AB + AD) P = 2(6 + 6) = 24 (cм)

1234 Бісектриса кута А перетинає сторону ВС в точці К. Знайдіть периметр паралелограма, якщо ВК = 14 см, КС = 7 см. Розвязання A B C D К Розглянемо паралельні прямі ВС і AD з січною АК. Кути KAD і AKB – внутрішні різносторонні, а значить вони рівні. Тоді в АВК є два рівні кути - <A і <K. Значить АВК – рівнобедрений з основою АК. Звідки АВ = ВК = 14 см. ВС = ВК + КС = = 21 (см) Знайдемо периметр: P = 2(AB + BC) = 2( ) = 70 (cм) 14 7

1234 ABCD і ABKM - паралелограми. Доведіть, що MD = KC A B C D KM Доведення Таким чином в чотирикутнику DCKM дві протилежні сторони рівні і паралельні, отже за ознакою паралелограма цей чотирикутник – паралелограм. В паралелограмі DCKM сторони MD і KC протилежні, а значить MD = KC. Що і треба було довести.

1234 Знайдіть сторони прямокутника, якщо вони відносяться як 2:3, а периметр дорівнює 48 см. Розвязання Нехай х – коефіцієнт пропорційності. Тоді сторони прямокутника запишемо так: AB = 2x, BC = 3x. P = 2(AB + BC), отже маємо рівняння: 2(2х + 3х) = 48 10х = 48 х = 4,8 (см) AB = 2x = 2·4,8 = 9,6 (см) BC = 3x = 3·4,8 = 14,4 (см) A B C D 2x 3x

1234 Менша сторона прямокутника дорівнює 10 см. Знайдіть діагоналі прямокутника, якщо вони перетинаються під кутом 60° Розвязання Розглянемо АОВ. За властивостями діагоналей прямокутника АО = ОВ, тому цей трикутник рівнобедрений. За умовою <АОВ = 60°, отже рівнобедрений АОВ буде рівностороннім. Тоді АО = ОВ =АВ = 10 (см) Так як діагоналі прямокутника діляться навпіл, то АС = 2АО = 2·10 = 20 (см). Діагоналі прямокутника рівні, тому BD = AC = 20 (см) A B C D О 60° 10 см

1234 Тупий кут між діагоналями прямокутника дорівнює 120°. Доведіть, що діагональ в два рази більше за меншу сторону прямокутника. Доведення Розглянемо AOD. Він рівнобедрений, так як АО = ОD ОD за властивостями діагоналей прямокутника. Тоді <AOD = <ODA = (180 – 120) : 2 = 30° A B C D О 120° 30°

1234 Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить сторону, яку вона перетинає, на рівні відрізки. Знайдіть площу прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 15 см. Розвязання BC AD, ВМ – січна, тоді <CBM = <AMB як внутрішні різносторонні, а значить <ABM = <AMB, звідки робимо висновок, що АВМ рівнобедрений. Отже АВ = АМ = 15 (см) Так як за умовою АМ = MD, то AD = 15 + = 30 (см). Знайдемо площу: S = AB · AD S = 15·30 = 450 (см 2 ) A B C D М 15 см

1234 За даними на малюнку знайдіть кути ромба. Розвязання АС – діагональ ромба, значить АС – бісектриса <A. Тоді <A = 2·50 = 100° <A і <B – внутрішні односторонні, тому <A + <B =180° <B = 180 <B = 80° За властивістю протилежних кутів <С = <A = 100° <D = <B = 80° A B C D 50° 80°

1234 Доведіть, що висоти ромба рівні. Доведення Проведемо висоти ромба з вершини А – АМ та АK.АK. Отримаємо два прямокутних трикутника: AMD і AKB Розглянемо ці трикутники: AB = AD (сторони ромба) <B = <D (протилежні кути ромба) З цього робимо висновок, що AMD = AKB (за гіпотенузою та гострим кутом). З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін, а значить AK = AM. Що і треба було довести. A B C D М K

1234 Знайдіть кути ромба, якщо його сторона утворює з діагоналями кути, які відносяться як 2:7. Розвязання Нехай х – коефіцієнт пропорційності. Тоді кути між стороною і діагоналями дорівнюють 2х та 7х. Так як діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то <A = 14x, <B = 4x. Застосувавши властивість сусідніх кутів паралелограма маємо: <A + <B = x + 4x = x = 180 x = 10 Знайдемо кути ромба: <A = <C = 14x = 14·10 = 140° <B = <D = 4x = 4·10 = 40° A B C D 2х 7х

1234 Висота ромба, проведена з вершини тупого кута, ділить сторону навпіл. Менша діагональ ромба дорівнює 20 см. Знайдіть периметр ромба. Розвязання Розглянемо АВС. В ньому АК – висота і медіана (за умовою задачі). Звідки робимо висновок, що АВС рівнобедрений з основою ВС. Тоді АС = АВ = 20 см (як бічні сторони). Так як сторони ромба рівні, то Р = 4·АВ Р = 4·20 = 80 (см) A B C D К 20 см

123 На стороні ВС квадрата АВСD позначили точку К так, що АК = 2ВК. Знайдіть кути KAС. Розвязання Розглянемо АВК: <B = 90°, АК = 2ВК. Це означає, що <BAK = 30°. За властивістю діагоналей квадрата <BAC = <ВСА = 45°. Знайдемо <КАС = 45° – 30° = 15° Знайдемо третій кут трикутника КАС: <K = 180° – (45° + 15°) = 120° A B C D К 30° 45° 15° 120°

123 Точки К, М, P, S – середини сторін квадрата ABCD. Доведіть, що чотирикутник KMPS - квадрат. Доведення Так як ABCD – квадрат, а точки K, M, P, S – середини сторін, то AK = KB = BM = MC = CP = PD = DS = AS. Отже маємо чотири прямокутні трикутники з рівними катетами, значить вони рівні між собою, а тому їх гіпотенузи теж рівні: KM = MP = PS = SK. Розглянемо KBM. КВ = ВМ, тому трикутник прямокутний і рівнобедрений, а значить <BKM = <BMK = 45°. Аналогічними міркуваннями знаходимо, що <CMP = 45°. Знайдемо <KMP: 180° – (45° + 45°) = 90°. Аналогічним чином знаходимо, що всі кути чотирикутника KMPS дорівнюють 90°. Маємо: В чотирикутнику KMPS всі сторони рівні і всі кути 90°, тому цей чотирикутник – квадрат. Що і треба було довести. A B C D К М Р S 45° 90°

123 У трикутнику АВС <С = 90°, АС = ВС = 14 см. В нього вписаний квадрат CDEM так, що вершина Е лежить на гіпотенузі, а кут С – спільний. Знайдіть периметр квадрата. Розвязання Так як АВС прямокутний і рівнобедрений, то <A = <B = 45° Розглянемо MBE: <B=45°, <M = 90° (суміжний з кутом квадрата), тому <E = 90° – 45° = 45 °. Так як у MBE два кути рівні, то він рівнобедрений і EM = MB. Аналогічно з DAE доводимо, що DA = DE. У квадрата сторони рівні, тому маємо такі рівності: CD = DE = AD = EM = MB = CM. Так як катети АВС дорівнюють 14 см, то СМ = МВ = 14:2 = 7 (см), а це означає, що сторона квадрата 7 см, тому Р = 4·7 = 28 (см). C А В D Е М 45° 7 см

1. Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони … 5. В паралелограмі ABCD <B + <D = 240°. Знайти <D. 2. В паралелограмі ABCD сторони AB = 3см, BC = 8см. Знайти CD. 6. В паралелограмі ABCD О – точка перетину діагоналей. АС = 12 см. Знайти АО. 3. Знайти периметр паралелограма ABCD, якщо АВ = 5 см, ВС = 6 см. 7. ВМ – висота паралелограма ABCD. АВ = 6 см. <A = 30°. Знайти ВМ. 4. У паралелограма АВСD <A = 80°. Знайти <B. 8. В паралелограмі ABCD діагональ AC є бісектрисою кута А. Знайти периметр паралелограма, якщо АВ = 4 см. перпендикулярніпаралельні перетинаються нерівні 3 см8 см 11 см 5 см 11 см22 см 20 см 24 см 180°30° 100° 80° 200°120° 40° Неможливо знайти 12 см10 см 5 см 6 см 3 см6 см 5 см 1 см 16 см24 см 18 см 20 см Перевірка Властивості

1. Знайти периметр прямокутника ABCD, якщо AB = 6см, ВС = 8 см. 5. Діагональ прямокутника утворює з більшою стороною кут 30°. Знайти меншу сторону, якщо діагональ = 14 см. 2. В прямокутнику ABCD АС = 12 см. Знайти BD. 6. Одна сторона прямокутника вдвічі більша за другу. Знайдіть меншу сторону, якщо Р = 30 см. 3. В прямокутнику ABCD О – точка перетину діагоналей. ВО = 5 см. Знайти АС + BD. 7. Тупий кут між діагоналями прямокутника ABCD дорівнює 120°. Знайдіть <CAD. 4. АС – діагональ прямокутника ABCD. <CAD = 36°. Знайти <ACD 8. Діагональ прямокутника ділить <A на два кути у відношенні 2 : 3. Знайдіть ці кути. 14 см28 см 24 см 32 см 6 см12 см 10 см 24 см 11 см22 см 20 см 24 см 54°30° 36° 90° 8 см10 см 28 см 7 см 5 см10 см 15 см 3 см 100°30° 45° 120° 20° і 70°36° і 54° 12° і 78° 5° і 85° Перевірка Властивості

1. Ромб – це різновид … 5. Кути ромба дорівнюють 48° та 132°. О – точка перетину діагоналей. Знайти гострі кути ABO. 2. Знайти сторону ромба, якщо його периметр дорівнює 60 см. 6. Менша діагональ ромба дорівнює стороні ромба. Знайти гострий кут ромба. 3. За даними малюнка знайти <D ромба. 7. Знайти кути ромба, якщо вони відносяться як 2 : Один кут ромба дорівнює 110°. Знайти сусідній кут ромба. 8. О – точка перетину діагоналей ромба ABCD. Менша діагональ дорівнює стороні ромба. АО = 8 см, ВО = 10 см. Знайти периметр BCD. трикутникапрямокутника паралелограма квадрата 15 см20 см 6 см 12 см 25°50° 65° 130° 40°70° 110° Неможливо знайти 48° і 66°24° і 66° 45° і 45° Неможливо знайти 60°30° 45° 70° 20° і 150°60° і 120° 40° і 140° 45° і 135° 56 см28 см 36 см 52 см Перевірка 25° A B C D Властивості

1. Знайти площу квадрата зі стороною 7 см. 5. Кут між діагоналями квадрата дорівнює АBCD – квадрат. Знайти гострі кути АВС. 4. Діагональ квадрата ABCD дорівнює 20 см. Знайти радіус кола, описаного навколо АВС. 3. О – точка перетину діагоналей квадрата ABCD зі стороною 8 см. Знайти радіус кола, вписаного в цей квадрат. 6. Знайти суму периметрів трикутників, на які розбивається квадрат своїми діагоналями, якщо периметр квадрата 12 см, а діагональ дорівнює 3 см. 28 см 2 21 см 2 49 см 2 35 см 2 30° і 60°45° і 30° 45° і 45° 60° і 60° 8 см16 см 10 см 4 см 10 см20 см 5 см Неможливо знайти 15 см27 см 18 см 30 см Перевірка 80°90° 30° 45° Властивості

Заповніть таблицю: поставте знак «+», якщо вказана фігура має відповідну властивість. Властивість Фігура ПаралелограмПрямокутникРомбКвадрат 1 Протилежні сторони попарно паралельні. 2 Протилежні сторони рівні. 3 Протилежні кути рівні 4 Усі сторони рівні. 5 Усі кути прямі. 6 Діагоналі діляться точкою перетину навпіл. 7 Діагоналі рівні. 8 Діагоналі взаємно перпендикулярні. 9 Діагоналі ділять кути навпіл. ПеревіркаПеревірка

Пустова Ольга Миколаївна Вчитель математики I категорії Навчально-виховний комплекс ім. Т. Г. Шевченка Херсонської обласної ради 2014 р.