Методы решения систем линейных уравнений. Графический метод.

Основными методами решения систем уравнений считают: Метод подстановки Метод алгебраического сложения Графический метод решения систем уравнений Решение систем уравнений по формулам Крамера

Графический метод решения систем уравнений Рассмотрим уравнение x y = 1. Выразим из этого уравнения y через x : y = x + 1. Уравнение y = x + 1 можно рассматривать как формулу, задающую функцию y от x. Поэтому графиком уравнения y = x + 1, а значит и исходного уравнения x y = 1, является прямая.

Для построения прямой достаточно найти две какие-нибудь точки. Таким образом, графиком уравнения x y = 1 является прямая, проходящая через точки (0; 1) и (1; 0) х 01 у 10

х у x – y = 1 х 01 у 10 Можно показать, что графиком любого уравнения ax +by = c является прямая, если хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.

В той же координатной плоскости, на которой построен график уравнения x y = 1, построим график уравнения x + y = 2. Из этого уравнения находим: y = 2 х. Таким образом, графиком уравнения x + y = 2 является прямая, проходящая через точки (0; 2) и (2; 0) х 02 у 20

х у x – y = 1 x + y = 2 2 х 02 у 20 Найдём координаты точки пересечения построенных прямых, не используя графики 0,5 1,5

Так как координаты (x ; y) этой точки удовлетворяют уравнениям x y = 1 и x + y = 2, т. е. обращают эти уравнения в верные числовые равенства, то пара чисел (x ; y) должна быть решением системы + 2x = 1, откуда x = 0,5, тогдаy = 1,5. Н а графике прямые пересекаются в точке (0,5; 1,5). Ответ: (0,5; 1,5)

В этом случае говорят, что система решена графически. Итак, для графического решения системы нужно: 1) построить графики каждого из уравнений системы; 2) найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых графиков уравнений системы. 1) Прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку. 2) Прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек. 3) Прямые совпадают.

1) Прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку. Тогда система уравнений имеет одно решение. х у 01 1 x – y = 1 x + y = 2 Коэффициенты при неизвестных не пропорциональны 1 : 1 1 : (1)

х у x + 4y = 8 x + 2y = 2 2) Прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек. Тогда система уравнений не имеет решений. Коэффициенты при неизвестных не пропорциональны свободным членам 2 : 1 = 4 : 2 8 : 2

х у x – 2y = 2 3x – 6y = 6 3) Прямые совпадают. Тогда система уравнений имеет бесконечное множество решений. Коэффициенты при неизвестных пропорциональны свободным членам 3 : 1 = 6 : (2) = 6 : 2

Приведём пример второго случая. Умножим первое уравнение системы на 2: Следовательно, нет таких значений x и y, которые обращают оба уравнения системы в верные равенства. Левые части уравнений этой системы равны любых значениях x и y, а правые части не равны. Ответ: решений нет.

в системе второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на 3, тогда эти уравнения выражают одну и ту же зависимость между x и y. Это означает, что координаты любой точки прямой x – 2y = 2 являются решением данной системы, т. е. система имеет бесконечное множество решений. Третий случай: Ответ: бесконечное множество решений

х у По рисунку составить систему уравнений и записать её решение y = Блиц - опрос Ответ : (1; 3)

х у По рисунку составить систему уравнений и записать её решение y = x = Ответ : (3; 3) Блиц - опрос

х у По рисунку составить систему уравнений и записать её решение y = Ответ : (0; 1) Блиц - опрос

х у По рисунку составить систему уравнений и записать её решение y = Блиц - опрос Ответ : (3; 1)

Найти координаты точки пересечения прямых: x + 2y = 13 и 3x –y = 4. Решим систему 2 7 x =21, тогда x = y = 13,2 y = 16, y = 8. Ответ: (3; 8). +