Симметрия в многогранниках

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника.

Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р - угольной призмы. Пусть l – прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией.

Пусть, далее, p – плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку P в точку P ¢, такую, что p пересекает отрезок PP ¢ под прямым углом и делит его пополам) – еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию.

Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов.

Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае – обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой – прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия.

Если кубический кристалл NaCl повернуть на 90° вокруг оси, проходящей через центры противоположных граней, кристалл совместится с исходным положением. При полном повороте вокруг оси на 360° кристалл NaCl совместится с исходным положением четырежды (рис. 1). Поэтому кубический кристалл NaCl обладает тремя осями симметрии четвертого порядка (они показаны на рисунке), а также четырьмя осями третьего порядка (объемные диагонали куба) и шестью осями второго порядка (они проходят через центры противоположных ребер).

Рис. 1. У кубического кристалла поваренной соли три взаимно перпендикулярные оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка.

На рисунке 3 мы видим пример другой, зеркальной симметрии: левая половина рисунка совмещается с правой, как предмет со своим отражением в зеркале. Вместо оси симметрии здесь существует другой элемент симметрии - плоскость симметрии. На рисунке 2 плоскость симметрии пересекает плоскость рисунка по линии, делящей рисунок вертикально. Плоскости симметрии есть и у кристалла NaCl.

Рис. 2. Плоскость симметрии (зеркало) перпендикулярна поверхности кадра и делит ее пополам. Отражение в зеркале симметрично с фигурой девочки, стоящей на палубе.

В некоторых кристаллах наблюдается еще один вид элементов симметрии - центр инверсии, или центр симметрии. Он делит пополам прямые, которые соединяют противоположные, равные, параллельные, но обратно направленные (антисимметричные) части фигуры (рис. 3).

Рис. 3. Центр инверсии (симметрии).

На рисунке 4 показан кристалл анортита, имеющий только центр симметрии. Для наглядности две антисимметричные грани даны голубым цветом. (Центр симметрии есть и в кристалле NaCl.) Понятие антисимметричных фигур широко используется в физике.

Рис. 4. Кристалл анортита.